Сайт для студентов, школьников, преподавателей, программистов и математиков. Здесь можно online решить задачу, пройти
тесты, найти решение или программу, получить помощь. Можно добавить задачу, программу, статью.
Задача 1. Найти \(y^{(n)}\) функции \(y=x^m.\) Решение. \(y'=mx^{m-1};\) \(y''=m(m-1)x^{m-2};\) \(y'''=m(m-1)(m-2)x^{m-3}.\)
Здесь нетрудно усмотреть закономерность, которая состоит в следующем: 1) число множителей перед \(x\) равно порядку производной; 2) первый множитель равен показателю степени \(m\), а каждый следующий — на единицу меньше; 3) в последнем множителе из \(m\) вычитается число, на единицу меньшее порядка производной; 4) показатель степени буквы \(x\) равен \(m\) минус порядок производной. Полагая, что для производной порядка \(n\) эта закономерность сохраняется, получаем
$$y^{(n)}=m(m-1)(m-2)...(m-n+1)x^{m-n}.$$
Задача 2. Найти \(y^{(n)}\) функции \(y=a^x.\) Решение. \(y'=a^x\ln a;\) \(y''=a^x(\ln a)^2;\) \(y^{(3)}=a^x(\ln a)^3;\) \(y^{(4)}=a^x(\ln a)^4.\)
Здесь уже нетрудно подметить, что каждая из найденных производных равна произведению \(a^x\) на \(\ln a\) в степени, равной порядку производной. Полагая, что эта закономерность сохраняется для производной любого порядка, получаем \(y^{(n)}=a^x(\ln a)^n.\)
Задача 3. Найти \(y^{(n)}\) функции \(y=e^x.\) Решение. \(y'=e^x;\; y''=e^x;\; y^{(3)}=e^x;\; ... ;\; y^{(n)}=e^x.\)
Задача 4. \(y^{(n)}\) Найти функции \(y=\ln x.\) Решение. \(y'=\frac{1}{x}=(-1)^0 \cdot \frac{1}{x};\) \(y''=-\frac{1}{x^2}=(-1)^1 \cdot \frac{1}{x^2};\) \(y^{(3)}=\frac{2}{x^3}=(-1)^2 \cdot \frac{1 \cdot 2}{x^3};\) \(y^{(4)}=-\frac{2 \cdot 3x^2}{x^6}=-\frac{2 \cdot 3}{x^4}=(-1)^3 \cdot \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{x^4}.\)
Усмотрим закономерность, по которой составлена каждая из этих производных: 1) все производные содержат множителем число \(-1\) в степени, которая на единицу меньше порядка производной; 2) числитель дроби есть произведение натуральных чисел, начиная с единицы и кончая числом, на единицу меньшим порядка производной; 3) знаменатель дроби есть \(x\) в степени, равной порядку производной. Считая, что эта закономерность сохраняется для производной любого порядка, получаем
по этой формуле, например, \(y^{(7)}=(-1)^6\frac{6!}{x^7}.\)
Задача 5. Найти \(y^{(n)}\) функции \(y=\sin x.\) Решение. \(y'=\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi }{2} \right);\) \(y''=-\sin x=\sin\left(x+\frac{\pi }{2} \cdot 2\right);\) \(y^{(3)}=-\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi }{2} \cdot 3\right);\) \(y^{(4)}=\sin x=\sin\left(x+\frac{\pi }{2} \cdot 4\right).\)
Легко усматривается закономерность, по которой образованы все эти производные: у каждой из них под знаком синуса к \(x\) прибавляется произведение \(\frac{\pi }{2}\) на порядок производной. Считая что эта закономерность сохраняется для производной любого порядка, получаем, что \(y^{(n)}=\sin\left(x+n \cdot \frac{\pi }{2} \right).\)
Вход
