Сайт для студентов, школьников, преподавателей, программистов и математиков. Здесь можно online решить задачу, пройти
тесты, найти решение или программу, получить помощь. Можно добавить задачу, программу, статью.
Решение. Пусть \(y=y(x)\) — непрерывно дифференцируемое решение данного уравнения, где \(C\) — параметр, не зависящий от \(x\). Тогда должно выполняться тождество
$$F(x, C)=x^2+Cy^2(x)-2y(x)=0,$$
где \(x \in X \subset R, X\) — некоторое множество. Функция \(F\) дифференцируема по \(x\). Взяв производную, имеем
$$(1) \: \frac{\partial F (x,C)}{\partial x}\equiv2x+2y(x)y'(x)C-2y'(x)\equiv0,$$
Исключив из трех тождеств постоянные \(C_1\) и \(C_2\), имеем
$$y^3y''+(y'^2+yy'')^2=0.$$
Задача 4
$$y=e^{C_x}$$
Решение. После дифференцирования по переменной \(x\) получим \(y'(x)=Ce^{C_z}\), откуда \(C=\frac{y'}{y}\: (y\neq 0)\). Таким образом, дифференциальное уравнение данного семейства имеет вид
$$y=e^{\frac{y'}{y}x}.$$
Задача 5
$$x-C_1y^2-C_2y-C_3=0.$$
Решение. Трижды продифференцировав данное равенство по \(x\), получаем:
в силу того, что \(y' \neq 0\) (это следует из первого равенства (1)).
Примечание. Во всех рассмотренных выше примерах мы предполагали, что существует производная требуемого порядка неявно заданной функции. Это предположение существенно, поскольку уже простейшее уравнение \(y^2-x^2-C=0\) определяет бесконечное множество разрывных неявных функций \(y=y(x,C), -\infty < x <+\infty\), например
$$y=\begin{cases} \sqrt{C+x^2}, & \text{ } x \in Q, \\ -\sqrt{C+x^2}, & \text{ } x \in \frac{R}{Q} , \end{cases}\; C\neq 0.$$
Вход
