Сайт для студентов, школьников, преподавателей, программистов и математиков. Здесь можно online решить задачу, пройти
тесты, найти решение или программу, получить помощь. Можно добавить задачу, программу, статью.
Составление дифференциальных уравнений. Задача Коши, поиск частного решения дифференциального уравнения
Задача 1
Найти частное решение некоторого дифференциального уравнения, если его общее решение имеет вид \(y=C_1\cos\alpha x + C_2\sin\alpha x\) и \(y(0)=1,\: y'(0)=1.\)
Решение. Дважды дифференцируя \(y\) по \(x\), легко находим соответствующее дифференциальное уравнение:
$$y''+\alpha ^2y=0.$$
Для отыскания частного решения этого уравнения следует воспользоваться начальными условиями, чтобы найти постоянные \(C_1\) и \(C_2\). Имеем
$$y(0)=(C_1\cos\alpha x + C_2\sin\alpha x) )\big|_{x=0}=C_1=1,\; y'(0)=\alpha (-C_1\sin\alpha x + C_2\cos\alpha x)\big|_{x=0}=\alpha C_2=0.$$
Может ли функция \(y=x+1\) быть частным решением этого уравнения?
Решение. Нет, не может, поскольку ни при каких значениях произвольных постоянных (в том числе и \(\pm \infty\)) из формулы общего решения получить ее нельзя.
Вход
