Сайт для студентов, школьников, преподавателей, программистов и математиков. Здесь можно online решить задачу, пройти
тесты, найти решение или программу, получить помощь. Можно добавить задачу, программу, статью.
Таким образом, все решения данного уравнения имеют вид
$$\ln\left|x \right|-\sqrt{y^2+1}=C,\; x=0.$$
Задача 2. \((x^2-1)y'+2xy^2=0,\; y(0)=1.\)
Решение. Сначала находим все решения этого уравнения. Имеем
$$(x^2-1)dy+2xy^2dx=0,$$
откуда, разделив переменные \(x\) и \(y\), получаем
$$\frac{dy}{y^2}+\frac{2xdx}{x^2-1}=0.$$
Интегрируя обе части полученного уравнения, находим
$$-\frac{1}{y}+ \ln \left|x^2-1 \right|=C.$$
Для получения всех решений исходного уравнения к последнему семейству интегральных кривых присоединим еше решение \(y=0.\)
Далее, из совокупности всех интегральных кривых выделим ту кривую, которая проходит через точку \((0,1)\). Полагая \(x=0\) и \(y=1\), находим \(C=-1.\) Таким образом, функция
$$y=\frac{1}{1+ \ln \left|x^2-1 \right|}$$
является решением поставленной задачи.
Задача 3. \(xy'+y=y^2,\; y(1)=0,5.\)
Решение. Записывая уравнение в виде
$$xdy+(y-y^2)dx=0$$
и разделяя переменные, имеем
$$\frac{dy}{y-y^2}+\frac{dx}{x}=0.$$
Интегрируя, получаем
$$xy(1-y)=C.$$
Заметим, что несмотря на деление обеих частей уравнения на \(x(y-y^2)\), его решения \(x=0,\: y=0\) и \(y=1\) не были потеряны. Наконец, подставив \(x=1,\: y=0,5\), находим \(C=\frac{1}{4}\). Следовательно, дифференцируемая кривая
$$4xy(1-y)-1=0$$
— решение поставленной задачи.
Задача 4. \(e^{-s}\left(1+\frac{ds}{dt} \right)=1.\)
Вход
