Сайт для студентов, школьников, преподавателей, программистов и математиков. Здесь можно online решить задачу, пройти
тесты, найти решение или программу, получить помощь. Можно добавить задачу, программу, статью.
$$xdy-y\left(1+\ln \frac{y}{x} \right)dx=0\; (x > 0, y > 0),$$
обнаруживаем, что функции \(M(x,y)=-y\left(1+\ln \frac{y}{x} \right)\) и \(N(x,y)=x\) однородные одной и той же степени \(m=1\). Поэтому, применив замену \(y=xu, dy=xdu+udx\), получим
$$xdu-u \ln udx=0.$$
Разделяя переменные и интегрируя, находим
$$\ln x - \ln \left|\ln u \right|=\ln C \; (u\neq 1),$$
или
$$y=xe^{Cx}.$$
Заметим, что решение \(y=x\), которое соответствует значению \(u=1\), входит в формулу семейства интегральных кривых при \(C=0\).
Задача 3. \(xydx+(y^2-x^2)dy=0,\; M(1,1).\)
Решение. В данном примере требуется найти кривую, которая удовлетворяла бы дифференциальному уравнению и проходила через точку \(M\). Прежде всего, находим все решения этого уравнения. Полагая \(y=xu\), получаем
К полученному семейству присоединим еще кривую \(y = 0\). Далее, подставив \(x=1, y=1,\), имеем \(C=e^{\frac{1}{2}}\). Поэтому требуемая кривая имеет уравнение
Вход
