Задача 1

Определить острый угол между прямыми \(y=-3x+7\) и \(y=2x+1\).

Решение 1

Полагая \(k_{1}=-3, k_{2}=2\) в формуле \(\tan\alpha =\left|\frac{k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}} \right|\), получим

\(\tan\phi =\left|\frac{2-(-3)}{1-(-3)\cdot2} \right|=1\), т. е. \(\phi=\frac{\pi }{4}\).

---

Задача 2

Показать, что прямые \(4x-6y+7=0\) и \(20x-30y-11=0\) параллельны.

Решение 2

Приведя уравнение каждой прямой к виду с угловым коэффициентом, получаем

\(y=\frac{2}{3}x+\frac{7}{6}\) и \(y=\frac{2}{3}x-\frac{11}{30}\).

Угловые коэффициенты этих прямых равны: \(k_{1}=k_{2}=\frac{2}{3}\), т. е. прямые параллельны.

---

Задача 3

Показать, что прямые \(3x-5y+7=0\) и \(10x+6y-3=0\) перпендикулярны.

Решение 3

После приведения уравнений к виду с угловым коэффициентом, получаем

\(y=\frac{3}{5}x+\frac{7}{5}\) и \(y=-\frac{5}{3}x+\frac{1}{2}\).

Здесь \(k_{1}=\frac{3}{5}\), \(k_{2}=-\frac{5}{3}\). Так как \(k_{1}=-\frac{1}{k_{2}}\), то прямые перпендикулярны.

---