Завдання

Знайти загальний розв'язок рівняння $$y''(1+2 \ln y')=1.$$
Розв'язання:
Для заданого рівняння відшукати розв'язок у явному або неявному вигляді досить важко, але можна отримати розв'язок у параметричній формі.
Покладемо $$y'=p(x),\;y''=\frac{dp}{dx}.$$
Тоді отримаємо $$\frac{dp}{dx}(1+2 \ln p)=1$$
або $$dx=(1+2 \ln p)dp.$$
Звідки $$x=-p+2 p \ln p+C_1.$$
Враховуючи, що \(dy=p dx\) , маємо: $$dy=p(1+2 \ln p)dp,$$ $$y=p^2 \ln p +C_2.$$
Отже, отримали загальний розв'язок у параметричному вигляді: $$x=p(-1+2 \ln p)+C_1,\; y=p^2 \ln p+C_2.$$


2012-12-21 • Просмотров [ 709 ]