Приклад . Зiнтегрувати рiвняння $$y'+\frac{xy}{x^2+1}=x$$
Розв’язання. Складемо вiдповiдне однорiдне рiвняння
$$y'+\frac{xy}{x^2+1}=0$$
Якщо \(y\neq 0\) (очевидно, що y = 0 не є розв’язок заданого рiвняння), то останнє рiвняння запишеться у виглядi
 $$\frac{dy}{y}=-\frac{xdx}{x^2+1}$$
Звiдси
$$ \large y=Ce^{ 1/2 \cdot ln(x^2+1)}$$
або
$$y=\frac{C}{\sqrt{x^2+1}}$$
Скориставшись методом варiацiї довiльної сталої, будемо шукати розв’язок неоднорiдного рiвняння у виглядi
$$y=\frac{C(x)}{\sqrt{x^2+1}}$$
де невiдома функцiя C(x) задовольняє рiвняння
$$C'(x)=x\sqrt{x^2+1}$$
Звiдси
$$C(x)=\frac{1}{3}\sqrt{(x^2+1)^3}+C$$
Отже, загальний розв’язок заданого рiвняння буде

$$y=\frac{1}{3}(x^2+1)+\frac{C}{\sqrt{x^2+1}}$$ .

---

---