Частные производные и дифференциалы высших порядков

Частными производными второго порядка от функции \(z=f(x,y)\) называются частные производные от ее частных производных первого порядка.
Обозначения частных производных второго порядка :
$$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x} \right)=\frac{\partial ^2z}{\partial ^2x}=f^{''}_{xx}(x,y); \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x} \right)=\frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}=f^{''}_{xy}(x,y);$$
$$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y} \right)=\frac{\partial ^2z}{\partial y\partial x}=f^{''}_{yx}(x,y); \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y} \right)=\frac{\partial ^2z}{\partial y^2}=f^{''}_{yy}(x,y).$$
Аналогично определяется и обозначаются частные производные третьего и высших порядков, например :
$$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial ^2z}{\partial x^3} \right)=\frac{\partial ^3z}{\partial x^3}=f^{'''}_{xxx}(x,y); \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial ^2z}{\partial x^3} \right)=\frac{\partial ^3z}{\partial x^2\partial y}=f^{'''}_{xxy}(x,y);$$
Дифференциалом второго порядка от функции \(z=f(x,y)\) называется дифференциал от ее полного дифференциала, т.е. \(d^2z=d(dz).\)

Пример 1. \(z=y\ln x.\) Найти \(\frac{\partial ^2z}{\partial x^2}, \frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}, \frac{\partial ^2z}{\partial y^2}.\)
Найдем частные производные : \(\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{y}{x}; \frac{\partial z}{\partial y}=\ln x.\)
$$\frac{\partial ^2z}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\frac{y}{x}=-\frac{y}{x^2};$$
$$\frac{\partial ^2z}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}(\ln x)=0;$$
$$\frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(\frac{y}{x})=\frac{1}{x}.$$

Пример 2. \(z=\sin x\sin y.\) Найти \(d^2z\).
$$\frac{\partial z}{\partial x}=\cos x\sin y,\frac{\partial z}{\partial y}=\sin x\cos y,$$
$$\frac{\partial ^2z}{\partial x^2}=-\sin x\sin y,\frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}=\cos x\cos y; \frac{\partial ^2z}{\partial ^2y}=-\sin x\sin y,$$
$$\partial ^2z=-\sin x\sin ydx^2+2\cos x\cos ydxdy-\sin x\sin ydy^2.$$

Пример 3. \(z=x^2y.\) Найти \(d^3z.\)
$$\frac{\partial z}{\partial x}=2xy, \frac{\partial ^2z}{\partial x^2}=2y, \frac{\partial ^3z}{\partial x^3}=0, \frac{\partial z}{\partial y}=x^2, \frac{\partial ^2z}{\partial y^2}=0,$$
$$\frac{\partial ^3z}{\partial y^3}=0,\frac{\partial ^3z}{\partial x^2}=2,\frac{\partial ^3z}{\partial x\partial y^2}=0;$$
$$d^3z=0\cdot dx^3+3\cdot 2dx^2dy+3\cdot 0\cdot dx\cdot dy^2+0\cdot dy^3=6dx^2dy.$$

Дифференцирование сложных функций

Пусть \(z=f(x,y)\), где \(x=\varphi (t),y=\psi (t)\) и функции \(f(x,y); \varphi (t);\psi (t)\) диференцируемы. Тогда производная сложной функции \(z=f\left[\varphi (t),\psi (t) \right]\) вычисляются по формуле
$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot \frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot \frac{dy}{dt}.$$
Если \(z=f(x,y)\) , где \(y=\varphi (x)\) то полная производная от \(z)\ по \(x)\ находится по формуле
$$\frac{dz}{dx}=\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot \frac{dy}{dx}$$

Пример 1. \(z=e^{x^2+y^2}\) , где \(x=\alpha \cos t,y=\alpha \sin t.\) Найти \(\frac{dz}{dt}.\)
Имеем
$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot \frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot \frac{dy}{dt}=e^{x^2+y^2}\cdot 2x(-\alpha \sin t)+e^{x^2+y^2}\cdot 2y(\alpha \cos t)=$$
$$=2\alpha e^{x^2+y^2}(y\cos t-x\sin t).$$
Выразив \(x\) и \(y\) через \(t\), получим
$$\frac{dz}{dt}=2\alpha e^{a^2}(\alpha \sin t\cos t-\alpha \cos t\sin t)=0.$$

Пример 2. \(z=\ln (x^2-y^2)\) , где \(y=e^x\) . Найти \(\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{dz}{dx}.\)
Имеем \(\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2x}{x^2-y^2}.\) Используя формулу полной производной, находим
$$\frac{dz}{dx}=\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot \frac{dy}{dx}=\frac{2x}{x^2-y^2}=\frac{2(x-ye^x)}{x^2-y^2}.$$

Производная в данном направлении

Пример 1. Найти производную функции \(z=x^2-y^2\) в точке \(M(1;1)\) в направлении вектора І , составляющем угол \(\alpha =60^{o}\) c положительным направлением оси \(Ox\).
Найдем значения частных производных в точке
$$M:\frac{\partial z}{\partial x}=2x, \frac{\partial z}{\partial y}=-2y,\left(\frac{\partial z}{\partial x} \right)_M=2, \left(\frac{\partial z}{\partial y} \right)_M=-2.$$
Так как \(\cos \alpha =\cos 60^o=1/2, \sin \alpha =\sin 60^o=\sqrt 3/2\), то
$$-\frac{\partial z}{\partial l}=2(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2})=1-\sqrt 3=-0,7.$$

Пример 2. Найти производную функции \(z=\ln (x^2+y^2)\) в точке \(M(3;4)\) в направлении градиена \(z\).
Здесь вектор І совпадает с градиентом функции \(z=\ln (x^2+y^2)\) в точке \(M(3;4)\) и равен
$$grad z =\left(\frac{2x}{x^2+y^2} \right)_Mi+(\frac{2y}{x^2+y^2})_Mj=\frac{6}{25}i+\frac{8}{25}j.$$
Следовательно ,
$$\frac{\partial z}{\partial l}=\left|grad z \right|=\sqrt {(\frac{6}{25})^2+(\frac{8}{25})^2}=\frac{2}{5}.$$


2012-12-15 • Просмотров [ 3657 ]