Пример 1. Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференциирования), найти производную функции
$$y=2x^3+5x^2-7x-4.$$
Дадим \(x\) приращение \(\Delta x\), тогда для \(y\) получим приращение \(\Delta y\):
$$y+\Delta y=2(x+\Delta x)^3+5(x+\Delta x)^2-7(x+\Delta x)-4.$$
Найдем приращение функции.
$$\Delta y=\left[ 2(x+\Delta x)^3+5(x+\Delta x)^2-7(x+\Delta x)-4\right]-(2x^3+5x^2-7x-4)=$$
$$=6x^2\Delta x+6x\Delta x^2+2x^3+10x\Delta x+5\Delta x^2-7\Delta x.$$
Находим отношение приращения функции к приращению аргумента :
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=6x^2+6x\Delta x+2\Delta x^2+10x+5\Delta x-7.$$
Найдем предел этого отношения при \(\Delta x\rightarrow 0:\)
$$\lim _{ \Delta x\rightarrow 0}\frac{ \Delta y}{ \Delta x}=\lim _{ \Delta x\rightarrow 0}(6x^2+6x\Delta x+2\Delta x^2+10x+5\Delta x-7)=6x^2+10x-7.$$
Следовательно, по определению производной \(y'=6x^2+10x-7.\)

Пример 2. Исходя из определения производной, найти производную функции \(y=-\cot x-x.\)
Находим
$$\Delta y=-\cot (x+ \Delta x)-(x+ \Delta x)+\cot x+x=\cot x-\cot (x+ \Delta x)-\Delta x.$$
Используя формулу
$$\cot \alpha -\cot \beta =\frac{\sin (\beta -\alpha )}{\sin \alpha \sin \beta },$$
получим
$$\Delta y=\frac{\sin (x+\Delta x-x)}{\sin x \sin (x+\Delta x)}-\Delta x=\frac{\sin \Delta x}{\sin x\sin (x+\Delta x)}-\Delta x,$$
откуда
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}}{\sin x\sin (x+\Delta x)}-1$$
и, следовательно,
$$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}}{\sin x\sin (x+\Delta x)}-1=\frac{1}{\sin ^2x}-1.$$
Итак, \(y'=\frac{1}{\sin ^2x}-1=\cot ^2x.\)

Пример 3. Исходя из определения производной, найти производную функции \(y=\sqrt x\) .
Находим приращение функции: \(\Delta y=\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt x\) .
Отсюда
\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt x}{\Delta x}\) и
$$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt x}{\Delta x}.$$
Таким образом,
$$y'=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\frac{(\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt x)(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt x)}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt x)}=$$
=$$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\frac{x+\Delta x-x)}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt x)}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt x}=\frac{1}{2\sqrt x}.$$
Итак, \(y'=\frac{1}{2\sqrt x}.\)
Пример 4. Применяя формулы и правила дифференциирования, найти производную функции \(y=x^2e^x.\)
$$\Delta y'=x^2(e^e)'+e^x\cdot (x^2)'=x^2e^x+2xe^x=xe^x(x+2).$$

Пример 5. Применяя формулы и правила дифференциирования, найти производную функции \(y=\frac{\arcsin x}{x}.\)
$$\Delta y'=\frac{x\cdot (\arcsin x)'-\arcsin x\cdot (x)'}{x^2}=\frac{x\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\arcsin x}{x^2}=$$
$$=\frac{x-\sqrt {1-x^2}\cdot \arcsin x}{x^2\sqrt {1-x^2}}.$$

Пример 6. Применяя формулы и правила дифференциирования, найти производную функции $$y=\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}.$$
$$y'=\frac{(\sin x+\cos x)(\cos x+\sin x)-(\sin x\cos x)(\cos x-\sin x)}{(\sin x+\cos x)^2}=$$
$$=\frac{(\sin x+\cos x)^2+(\sin x-\cos x)^2}{(\sin x+\cos x)^2}=\frac{2}{(\sin x+\cos x)^2}.$$


2012-12-11 • Просмотров [ 851 ]