Задание: Решить уравнение $$\frac{\sin x}{1+ \cos x} = 1 - \cos x$$ Решение:
Это уравнение является дробно-рациональным тригонометрическим уравнением. Правую часть заданного уравнения умножим и разделим на (1+ cos x), получим $$\frac{\sin x}{1+ \cos x} = \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{1+ \cos x}$$ Преобразуем выражение, стоящее в правой части последнего равенства, используя формулы сокращенного умножения и основное тригонометрическое тождество $$\frac{\sin x}{1+ \cos x} = \frac{1 - \cos ^{2} x}{1+ \cos x}$$ $$\frac{\sin x}{1+ \cos x} = \frac{\sin ^{2} x}{1+ \cos x}$$ Перенесем все влево, получим: $$\frac{\sin x}{1+ \cos x} - \frac{\sin ^{2} x}{1+ \cos x} = 0$$ $$\frac{\sin x - \sin ^{2} x}{1+ \cos x} = 0$$ Учитывая, что знаменатель дроби не может быть равен нулю $$1+\cos x \neq 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } \cos x \neq -1 \text{ } \Rightarrow \text{ } x \neq \pi + 2 \pi k \text{ },\text{ } k \in Z$$ приравняем к нулю числитель: $$\sin x - \sin ^{2} x = 0$$ $$\sin x (1 - \sin x )= 0$$ Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю. Таким образом: $$\sin x = 0 0$$ или $$1-\sin x= 0$$ $$\sin x = 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } x = \pi k\text{ },\text{ } k \in Z$$ $$1-\sin x= 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } \sin x = 1\text{ } \Rightarrow \text{ } x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\text{ },\text{ } k \in Z$$ Учитывая что $$x \neq \pi + 2 \pi k \text{ },\text{ } k \in Z$$ получим, что решениями будут: $$x = 2 \pi k\text{ },\text{ } k \in Z; \; x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\text{ },\text{ } k \in Z .$$ Ответ: $$x_{1} = 2 \pi k\text{ },\text{ } k \in Z; \; x_{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\text{ },\text{ } k \in Z .$$

---