Найти объем конуса высотой H и радиусом основания R (рисунок 1).
Решение:
Рисунок 1
Конус ограничен поверхностью \(z=\frac{H}{R}\sqrt{x^2+y^2}\) и плоскостью z = H (рисунок 1).
В декартовых координатах его объем выражается формулой
\(V=\int \int
\int_{V}{dxdydz}=\int_{-R}^{R}{dx}\int_{-\sqrt{R^2-x^2}}^{\sqrt{R^2-x^2}}{dy}\int_{\frac{H}{R}\sqrt{x^2+y^2}}^{H}{dz}\)
Вычислим этот интеграл в цилиндрических координатах, которые изменяются в пределах
\(0\leq \varphi \leq 2\pi , 0\leq \rho \leq R, \rho \leq z\leq H\)
Получаем (не забудем включить в интеграл якобиан ρ):
\(V=\int_{0}^{R}{\rho d\rho }\int_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int_{\frac{H}{R}\rho }^{H}{dz}\)
Находим объем конуса:
\(V=\int_{0}^{R}{\rho d\rho }\int_{0}^{2\pi
}{d\varphi }\int_{\frac{H}{R}\rho }^{H}{dz}=2\pi \int_{0}^{R}{\rho d\rho
}\int_{\frac{H}{R}\rho }^{H}{dz}=\)
\(=2\pi \int_{0}^{R}{\rho d\rho }\left[(z)\mid_{z=\frac{H}{R}\rho }^{z=H} \right]=2\pi \int_{0}^{R}{\rho }\left(H-\frac{H}{R}\rho \right)d\rho =\)
\(=2\pi \int_{0}^{R}\left(H\rho -\frac{H}{R}\rho ^2 \right)d\rho =2\pi \left[\left(\frac{\rho ^2H}{2}-\frac{\rho ^3H}{3R} \right) \mid_{\rho =0}^{\rho =R}\right]=\)
\(=2\pi \left(\frac{R^2H}{2}-\frac{R^3H}{3R} \right)=2\pi R^2H\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)=\frac{2\pi R^2H}{6}=\frac{\pi R^2H}{3}\)
\(=2\pi \int_{0}^{R}{\rho d\rho }\left[(z)\mid_{z=\frac{H}{R}\rho }^{z=H} \right]=2\pi \int_{0}^{R}{\rho }\left(H-\frac{H}{R}\rho \right)d\rho =\)
\(=2\pi \int_{0}^{R}\left(H\rho -\frac{H}{R}\rho ^2 \right)d\rho =2\pi \left[\left(\frac{\rho ^2H}{2}-\frac{\rho ^3H}{3R} \right) \mid_{\rho =0}^{\rho =R}\right]=\)
\(=2\pi \left(\frac{R^2H}{2}-\frac{R^3H}{3R} \right)=2\pi R^2H\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)=\frac{2\pi R^2H}{6}=\frac{\pi R^2H}{3}\)
Ответ: \(\frac{\pi R^2H}{3}\)
2012-12-27 • Просмотров [ 6311 ]
