Пример 1. Вычислить определитель третьего порядка

$$\begin{vmatrix} 5 &3 &2 \\ -1& 2 &4 \\ 7 &3 &6 \end{vmatrix}.$$

Разложив определитель по элементам 1-й строки получим

$$\begin{vmatrix} 5 &3 &2 \\ -1& 2 &4 \\ 7 &3 &6 \end{vmatrix}=5\begin{vmatrix} 2&4 \\ 3&6 \end{vmatrix}-3\begin{vmatrix} -1&4 \\ 7& 6 \end{vmatrix}+2\begin{vmatrix} -1&2 \\ 7 &3 \end{vmatrix}=5\cdot 0-3(-34)+2(-17)=68.$$

Пример 2. Вычислить тот же определитель на основании теоремы о ленейной комбинации элементов строки (столбцов).

К элементам первой строки прибавим соответствующие элементы второй строки, умноженные на 5, а к элементам третей строки - соответствующие элементы второй строки, умноженные на 7:

$$\begin{vmatrix} 5 &3 &2 \\ -1& 2 &4 \\ 7 &3 &6 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0&13 &22 \\ -1 & 2 &4 \\ 0&17 &34 \end{vmatrix},$$

Разложив определитель по элементам первого столбца, получаем

$$\begin{vmatrix} 0&13 &22 \\ -1 & 2 &4 \\ 0&17 &34 \end{vmatrix}=0\cdot \begin{vmatrix} 2&4 \\ 17 & 34 \end{vmatrix}+1\cdot \begin{vmatrix} 13& 22\\ 17 &34 \end{vmatrix}+0\cdot \begin{vmatrix} 13&22 \\ 2& 4 \end{vmatrix}=13\cdot 34-17\cdot 22=68.$$

Пример 3. Решить систему уравнений

$$\begin{cases} & \text{ } x+2y+z=8 \\ & \text{ } 3x +2y +z= 10 \\ & \text{ } 4x+3y-2z= 4. \end{cases}$$

Находим

$$x=\frac{\begin{vmatrix} 8&2 &1 \\ 10& 2 &1 \\ 4& 3 &-2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 &2 &1 \\ 3& 2 &1 \\ 4& 3 &-2 \end{vmatrix}}=\frac{8\begin{vmatrix} 2 &1 \\ 3 &-2 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 10&1 \\ 4& -2 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 10 & 2\\ 4 & 3 \end{vmatrix}}{1\begin{vmatrix} 2& 1\\ 3 &-2 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 3&1 \\ 4&-2 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 3&2 \\ 4&3 \end{vmatrix}}=\frac{14}{14}=1,$$

$$y=\frac{\begin{vmatrix} 1&8 &1 \\ 3& 10 &1 \\ 4& 4 &-2 \end{vmatrix}}{14}=\frac{1\begin{vmatrix} 10 &1 \\ 4 &-2 \end{vmatrix}-8\begin{vmatrix} 3&1 \\ 4& -2 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 3 & 10\\ 4 & 4 \end{vmatrix}}{14}=\frac{28}{14}=2,$$

$$z=\frac{\begin{vmatrix} 1&2 &8 \\ 3& 2 &10 \\ 4& 3 &4 \end{vmatrix}}{14}=\frac{1\begin{vmatrix} 2 &10 \\ 3 &4 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 3&10 \\ 4& 4 \end{vmatrix}+8\begin{vmatrix} 3 & 2\\ 4 & 3 \end{vmatrix}}{14}=\frac{42}{14}=3.$$

Пример 4. Решить систему линейных однородных уравнений

$$\begin{cases} & \text{ } 4x+y+z= 0 \\ & \text{ } x+3y+z=0 \\ & \text{ } x+y+2z=0. \end{cases}$$

Здесь \(D=\begin{vmatrix} 4 &1 &1 \\ 1 &3 &1 \\ 1 &1 &2 \end{vmatrix}\) Для вычисления этого определителя к элементам первой строки прибавим элементы третей строки, умноженные на -4, а к элементам второй строки - элементы третей строки, умноженные на -1 :

$$D=\begin{vmatrix} 0 &-3 &-7 \\ 0 &2 &-1 \\ 1 &1 &2 \end{vmatrix}=1\cdot \begin{vmatrix} -3& -7\\ 2 & -1 \end{vmatrix}=17.$$

Так как \(D\neq 0\), то система имеет только нулевое решение \(x=y=z=0.\)

2012-12-10 • Просмотров [ 4323 ]