Задание. Найти неопределенный интеграл
$$\int \frac{4x^2+7x-23}{(x^2-4x+8)(x+1)^2}dx$$
Решение. Разложим подинтегральное выражение на сумму простых дробей методом
неопределенных коэффициентов:
$$\large \frac{4x^2+7x-23}{(x^2-4x+8)(x+1)^2}=\frac{Ax+B}{x^2-4x+8}+\frac{Cx+D}{(x+1)^2}$$
$$\large \begin{cases} A+C = 0 \\ 2A+B-4C+D =4 \\ A+2B+8C-4D=7 \\ B+8D=-23 \end{cases}$$
$$\large \begin{cases} A =1 \\ B =1 \\ C=-1 \\ D=-3 \end{cases}$$
Тогда
$$\large \int \frac{4x^2+7x-23}{(x^2-4x+8)(x+1)^2}dx=\int \frac{x+1}{x^2-4x+8}dx-\int \frac{x+3}{(x+1)^2}dx=$$ $$=\int \frac{(x-2)dx}{(x-2)^2+2^2}+3\int \frac{dx}{(x-2)^2+2^2}-\int \frac{dx}{x+1}-2\int \frac{dx}{(x+1)^2}=$$ $$=\frac{1}{2}ln(x^2-4x+8)+\frac{3}{2}arctg\frac{x-2}{2}-ln(x+1)+\frac{2}{x+1}+C.$$

---

---