Задание. Показать, что данные функции u(x, y) и v(x, y) гармонические. Найти по заданной функции u(x, y) или v(x, y) ей сопряженную. $$\large u(x,y)=cosxchy,v(0,0)=0.$$ Решение. Проверим, что функция u(x, y) гармоническая: $$\large \frac{\partial u}{\partial x}=-sinxchy,\frac{\partial u}{\partial y}=cosxshy,$$ $$\large \frac{\partial^2u}{\partial x^2}=-cosxchy,\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=cosxshy,$$ Тогда $$\large \bigtriangleup =\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=-cosxchy+cosxchy\equiv 0,$$ то есть функция u(x, y) - гармоническая. Найдем сопряженную к ней функцию v(x, y) из условий Коши-Римана $$\large \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$ Имеем $$\large \frac{\partial v}{ \partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}=-sinxchy,$$ $$\large v(x,y)=-\int sinxchydy+f(x)=-sinxshy+f(x),$$ $$\large \frac{\partial v}{\partial x}=-cosxshy+f'(x)=\frac{\partial u}{\partial y}=-cosxshy,$$ $$\large \Rightarrow f'(x)=0,f(x)=C-const,v(x,y)=-sinxshy+C$$ Из начального условия получаем $$\large v(0,0)-sin0sh0+C=C=0,\Rightarrow v(x,y)=-sinxshy.$$
