$$3 \sin x + 4 \cos x = 2$$

Решение: разделим левую и правую часть заданного уравнения на
$$\sqrt{3^{2}+4^{2}} ,$$

получим
$$\frac{3}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \sin x + \frac{4}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \cos x = \frac{2}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}$$
$$\frac{3}{\sqrt{9+16}} \sin x + \frac{4}{\sqrt{9+16}} \cos x = \frac{2}{\sqrt{9+16}}$$
$$\frac{3}{5} \sin x + \frac{4}{5} \cos x = \frac{2}{5}$$

Введем вспомогательный угол:
$$\frac{3}{5} = \cos \varphi \text{ },\text{ } \frac{4}{5} = \sin \varphi .$$

Так как
$$\sin \varphi = 0 \ и \cos \varphi = 0 ,$$

то в качестве вспомогательного угла можно взять
$$\arcsin \frac{4}{5} .$$

Тогда последнее равенство преобразуется к такому виду:
$$\cos \varphi \sin x + \sin \varphi \cos x = \frac{2}{5}$$

Применив формулу «синус суммы», перепишем последнее равенство в виде:
$$\sin ( x+ \varphi ) = \frac{2}{5}$$

Получили простейшее тригонометрическое уравнение, корни которого равны
$$x+ \varphi = (-1)^{k} \arcsin \frac{2}{5} + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z$$
$$x = (-1)^{k} \arcsin \frac{2}{5} - \arcsin \frac{4}{5} + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z$$

Ответ:
$$x = (-1)^{k} \arcsin \frac{2}{5} - \arcsin \frac{4}{5} + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z$$


2015-06-05 • Просмотров [ 279 ]