Вычислить двойной интеграл \(\int \int_{D}e^xdxdy\) по области D, ограниченной линиями:
y=lnx, y=0, x=2.
Решение:
Область D изображена на рисунке 1.1. Если выбрать внутреннее интегрирование по y, а внешнее - по x, то двойной интеграл по этой области выразится одним повторным интегралом

\(\int \int_{D}{e^xdxdy=\int_{1}^{2}{dx}}\int_{0}^{lnx}{e^xdy}=\int_{1}^{2}{e^y}\mid_{0}^{lnx}\ dx=\)
\(\int_{1}^{2}{(e^{lnx}-1})dx=\int_{1}^{2}{(x-1)d(x-1)=\frac{(x-1)^2}{2}}\mid_{0}^{2}\ =0,5\)

Рисунок 1.1

 

Ответ:  0,5

Пример 2:
Вычислить двойной интеграл  \(\int \int_{D}{(x+2y)}dxdy\) если область D ограничена прямыми \(y=x, y=2x, x=2,x=3\).
Решение:

\(\int \int_{D}{(x+2y)}dxdy=\int_{2}^{3}{dx}\int_{x}^{2x}{(x+2y)dy}=\int_{2}^{3}{[xy+y^2]}\mid_ {x}^{2x}dx=\)

\(\int_{2}^{3}{(2x^2+4x^2-x^2-x^2)}dx=4\int_{2}^{3}{x^2}dx=\frac{4}{3}x^3\mid_ {2}^{3}= 25\frac{1}{3}\)

Ответ:  \(25\frac{1}{3}\)


2012-12-21 • Просмотров [ 1748 ]