Доведіть за допомогою методу математичної індукції.

Рішення

$$\large 1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4\cdots+n(n+1)(n+1)=$$

$$\large =\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)$$

$$\large n=1:1\cdot2\cdot3=\frac{1}{4}\cdot1\cdot(1+1)\cdot(1+2)\cdot(1+3)$$

 - правильно.

Отже, при \(n=1\) рівність виконується.

Припустимо, що задана рівність виконується при \(n=k\), тобто

$$\large1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4\cdots+k(k+1)(k+2)=$$

$$\large =\frac{1}{4}k(k+1)(k+2)(k+3)$$

Припустимо, що дана рівність виконується при \(n=k+1\).

$$\large 1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4+\cdots+k(k+1)(k+2)+$$

$$\large+(k+1)+(k+2)+(k+3)=$$

$$\large =\frac{1}{4}+(k+1)+(k+2)+(k+3)+(k+4)$$

Оскільки

$$\large 1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4+\cdots+k(k+1)(k+2)=$$

$$\large=\frac{1}{4}+(k+1)+(k+2)+(k+3),$$

то

$$\large 1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4+\cdots+k(k+1)(k+2)+$$

$$\large+(k+1)+(k+2)(k+3)=$$

$$\large=\frac{1}{4}+(k+1)+(k+2)+(k+3)+$$

$$\large+(k+1)+(k+2)\cdot(k+3)= $$

$$\large=(k+1)(k+2)(k+3)(\frac{1}{4}k+1)=$$

$$\large =\frac{1}{4}(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)$$

- правильно.


 Похожие публикации
2017-06-05 • Просмотров [ 23 ]