Простейшие правила интегрирования
Теорема I (об интеграле суммы). Интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций
| | (1) |
Равенства, в обеих частях котрых стоят неопределенные интегралы, означают, чтолевая и правая их части являются совокупностями первообразных от одной и той же функции. Следовательно, для проверки таких равенств достаточно убедиться, что производные обеих частей равны между собой.
Производная левой части равенства (1) по обпределению интеграла равна \(u+v+...+w\). применяя к правой части правило дифференцирования суммы, опять получим $$[\int udx+\int vdx+...+\int wdx]'=(\int udx)'+(\int vdx)'+...+(\int wdx)'=u+v+...+w.$$ Теорема доказана.
Теорема II (о вынесении постоянного множителя). Постоянный множитель подынтегральной функции можно вынести за символ интеграла $$\int cf(x)dx=c\int f(x)dx,$$ где \(c\) - константа.
Действительно, производные обеих частей равенства равны $$(\int cf(x)dx)'=cf(x);$$ $$(c\int f(x)dx)'=c(\int f(x)dx)'=cf(x),$$ что и требовалось доказать.
Пример. $$\int (2 sinx-3cos x)dx=2\int sinxdx-3\int cosxdx=-2cosx-3sinx+C.$$ Хотя каждое промежуточное интегрирование дает произвольное постоянное слагаемое, в окончательном результате указывается только одно слагаемое, так как сумма произвольных постоянных будет также произвольной постоянной.
Теорема III (об инвариантности формул интегрирования). Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от нее, т.е. если $$\int f(x)dx=F(x)+C, то и \int f(u)du=F(u)+C,$$ где \(u=\varphi (x)\) - любая дифференцируемая функция от \(x\).
Доказательство. Из того, что \(\int f(x)dx=F(x)+C\), следует \(F'(x)=f(x)\).
Возьмем теперь функцию \(F(u)=F[\varphi (x)]\); для ее дифференциала в силу теоремы об инвариантности вида первого дифференциала функции имеем $$dF(u)=F'(u)du=f(u)du.$$
Отсюда $$\int f(u)du=\int dF(u)=F(u)+C.$$
Это правило очень важно. Основная таблица интегралов в силу этого правила оказывается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой дифференцируемой функцией ее.
Нужно стараться так преобразовать подынтегральное выражение, чтобы оно приняло вид подынтегрального выражения известного нам интеграла, например, одного из интегралов основной таблицы.
Пример. Возьмем интеграл \(\int 2xe^{x^{2}}dx\). Замечая, что \(2xdx\) есть не что иное, как дифференциал \(d(x^{2})\), перепишем интеграл так: $$\int 2xe^{x^{2}}dx=\int e^{x^{2}}d(x^{2)}=\int e^{u}du,$$ где положено \(u=x^{2}\). Последний интеграл, согласно формуле основной таблицы интегралов и теореме III, равен \(e^{u}+C\), значит, $$\int 2xe^{x^{2}}dx=e^{x^{2}}+C.$$
