Для любых \(x\), \(y\) и положительных \(a\) и \(b\) верны равенства:

$$a^0=1,$$

$$a^x \cdot a^y=a^{x+y},$$

$$a^x : a^y=a^{x-y},$$

$$\left( a^x \right)^y=a^{xy},$$

$$\left( ab \right)^x=a^x b^x,$$

$$\left( \frac{a}{b} \right)^x= \frac{a^x}{b^x},$$

$$a^{-x}=\frac{1}{a^x}.$$

Для любых натуральных \(n\) и \(k\), больших единицы, и любых неотрицательных \(a\) и \(b\) верны равенства:

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m},$$

$$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b},$$

$$\left( \sqrt[n]{a} \right)^k=\sqrt[n]{a^k},$$

$$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[kn]{a},$$

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}; (b\neq0),$$

$$\sqrt[n]{a}=\sqrt[kn]{a^k},$$

$$\left( \sqrt[n]{a} \right)^n=a.$$

Если \(a<0\), \(b<0\), то при \(n=2k\), \(k \in N\):

$$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{|a|} \sqrt[n]{|b|},$$

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{|a|}}{\sqrt[n]{|b|}}.$$

При \(n=2k+1\), \(k \in N\) и любых \(a\) и \(b\):

$$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b},$$

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}; (b\neq0).$$

Если \(m\) и \(n\) - целые числа \((n\neq0)\), то:

$$\sqrt[2n]{a^{2m}}=\sqrt[n]{|a|^m},$$

$$\sqrt[n]{a^2}=|a|.$$

---