Интегралы с бесконечными пределами. Продолжение. Начало здесь


     Сходящимся несобственным интегралам можно придать определенный геометрический смысл. Пусть, например, график функции \(y=f(x)\) ограничивает трапецию с бесконечным основанием (рис.1). Если несобственный интеграл \(\int_{a}^{\propto }{f(x)dx}\) сходится, то будем говорить, что заштрихованная фигура имеет площадь, равную этому интегралу. Если интеграл расходится, то говорить о площади фигуры нельзя.


     Например, бесконечной трапеции, ограниченной положительной полуосью \(Ox\), прямой \(x=a\) (\(a>0\)) и линией \(y=\frac{1}{x^{3}}\), можно приписать площадь, равную \(\frac{1}{2a^{2}}\), ибо $$\int_{a}^{\propto }{\frac{1}{x^{3}}dx}=-\frac{1}{2}\frac{1}{x^{2}}\mid _{a}^{\propto }=\frac{1}{2a^{2}}.$$
     Бесконечной трапеции, ограниченной гиперболой \(y=\frac{1}{x}\), положительной полуосью \(Ox\) и прямой \(x=a\) (\(a>0\)), нельзя приписать площадь, так как $$\int_{a}^{\propto }{\frac{1}{x}dx}=\ln x\mid _{a}^{\propto }=\propto.$$
     Несобственные интегралы рассмотренного типа часто встречаются в задачах механики и электростатики в связи с определением потенциала.
     Пусть точка \(M\) массы \(m\), находящаяся в начале координат, притягивает свободную точку \(M_{1}\) массы \(1\), лежащую на расстоянии \(x\) от \(M\) на оси \(Ox\). Величина \(P\) силы притяжения, как известно, определяется по зкону Ньютона

$$P=k\frac{m}{x^{2}},$$
где \(k\) - константа,

а работа, произведенная при перемещении \(M_{1}\) из точки \(x=r\) в точку \(x=b\) (\(b>r>0\)), - из формулы $$A=-\int_{r}^{b}{k\frac{m}{x^{2}}dx}=km(\frac{1}{b}-\frac{1}{r}).$$
Знак минус перед интегралом взят потому, что направление силы противоположно направлению движения точки \(M\) (по той же причине работа оказалась отрицательной).
     Если точка удаляется в бесконечность (\(b=\propto\)), то $$A=-\int_{r}^{\propto }{k\frac{m}{x^{2}}dx}=-k\frac{m}{r}.$$
     Если точка \(M_{1}\) будет перемещаться из бесконечности в точку \(x=r\), то сила притяжения произведет уже положительную работу: $$A=k\frac{m}{r}.$$
     Эта работа называется потенциалом силы притяжения материальной точки \(M\) при \(x=r\) (или в точке \(x=r\)).


2012-11-09 • Просмотров [ 985 ]