Интегрирование простейших иррациональных функций.


     I. Рассмотрим интегралы вида

$$\int R(x,\sqrt[k]{x},\sqrt[m]{x},...)dx,$$
(1)

где подынтегральная функция рациональна относительно переменной интегрирования \(x\) и различных радикалов из \(x\). Обозначим через \(n\) наименьшее кратное всех показателей \(k, m, ...;\) тогда все отношения \(\frac{n}{k}=r_{1},\) \(\frac{n}{k}=r_{2}\), ... - целые числа.
     Интеграл (1) заменой переменной
\(x=u^{n}\),
\(dx=nu^{n-1}du\)

приводится к интегралу от рациональной функции (рационализируется).
     В самом деле, при указанной замене интеграл (1) принимает вид $$\int R(u^{n}, u^{r_{1}}, u^{r_{2}}, ...)nu^{n-1}du$$
и подынтегральное выражение есть рациональная функция от \(u\).
     Пример. \(\int \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}.\) Положим \(x=u^{6}\). Тогда \(\sqrt{x}=u^{3}, \sqrt[3]{x}=u^{2}, dx=6u^{5}du\) и $$\int \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}=6\int \frac{u^{5}}{u^{3}+u^{2}}du=6\int \frac{u^{3}}{u+1}du.$$
Дальнейшее просто: выделяя целую часть и интегрируя, получим $$6\int \frac{u^{3}}{u+1}=6(\frac{u^{3}}{3}-\frac{u^{2}}{2}+u-\ln \left|u+1 \right|)+C,$$
и, возвращаясь к старой переменной, $$\int \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}=2\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}+6\sqrt[6]{x}-6\ln \left|\sqrt[6]{x}+1 \right|+C.$$
     Почти ничего не изменится, если все подкоренные выражения есть одна и та же дробно-линейная функция \(\frac{ax+b}{px+q}\), т.е. интеграл имеет вид $$\int R(x, \sqrt[k]{\frac{ax+b}{px+q}}, \sqrt[m]{\frac{ax+b}{px+q}}, ...) dx.$$
В этом случае интеграл рационализируется заменой
$$\frac{ax+b}{px+q}=u^{n},$$
$$x=\frac{qu^{n}-b}{a-pu^{n}},$$
$$dx=\frac{aq-bp}{(a-pu^{n})^{2}}nu^{n-1}du.$$

Если \(p=0, q=1\), т.е. подкоренное выражение - линейная функция, то все преобразования значительно упрощаются.


Интегрирование иррациональных функций продолжение здесь


2012-11-03 • Просмотров [ 3150 ]