Теорема гипотез (формула Бейеса)

    Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является так называемая теорема гипотез, или формула Бейеса.
    Поставим следующую задачу.
    Имеется полная группа несовместных гипотез \(H_{1}, H_{2},...,H_{n}\). Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно \(P(H_{1}), P(H_{2}),..., P(H_{n}\)). Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление некоторого события \(A\). Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события?
    Здесь, по существу, речь идёт о том, чтобы найти условную вероятность \(P(H_{i}|A)\) для каждой гипотезы.
    Из теоремы умножения имеем:

\(P(AH_{i})=P(A)P(H_{i}|A)=P(H_{i})P(A|H_{i})\)  \((i=1, 2,...,n)\)
или, отбрасывая левую часть,
\(P(A)P(H_{i}|A)=P(H_{i})P(A|H_{i})\)  \((i=1, 2,...,n)\)
откуда
\(P(H_{i}|A)=\frac {P(H_{i})P(A|H_{i})}{P(A)}\)  \((i=1, 2,...,n)\)
Выражая \(P(A)\) с помощью формулы полной вероятности имеем: $$P(H_{i}|A)=\frac {P(H_{i})P(A|H_{i})}{\sum_{i=1}^{n}{P(H_{i})P(A|H_{i})}}$$     Формула и носит название формулы Бейеса или теоремы гипотез.

    Пример 1. Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества; вообще около \(40%\) приборов собирается из высококачественных деталей. Если прибор собран из высококачественных деталей, его надежность за время \(t\) равна \(0,95\); если из деталей обычного качества – его надежность равна \(0,7\). Прибор испытывался в течении времени \(t\) и работал безотказно. Найти вероятность того, что он собран из высококачественных деталей.
    Решение. Возможны две гипотезы:
\(H_{1}\) - прибор собран из высококачественных деталей,
\(H_{2}\) - прибор собран из деталей обычного качества.
    Вероятности этих гипотез до опыта:

\(P(H_{1})=0,4\);  \(P(H_{2})=0,6\).
    В результате опыта наблюдено событие \(A\) – прибор безотказно работал время \(t\).
    Условные вероятности этого события при гипотезах \(H_{1}\) и \(H_{2}\) равны:
\(P(A|H_{1})=0,95\);  \(P(A|H_{2})=0,7\). По формуле Бейеса находим вероятность гипотезы \(H_{1}\) после опыта: $$P(H_{1})=\frac{0,4\cdot 0,95}{0,4\cdot 0,95+0,6\cdot 0,6}=0,475.$$

    Пример 2. Производится наблюдение за некоторым объектом с помощью двух наблюдательных станций. Объект может находиться в двух различных состояниях \(S_{1}\) и \(S_{2}\), случайно переходя из одного в другое. Долговременной практикой установлено, что примерно \(30%\) времени объект находиться в состоянии \(S_{1}\), a \(70%\) в – в состоянии \(S_{2}\). Наблюдательная станция №1 передает ошибочные сведения приблизительно в \(2%\) всех случаев, а наблюдательная станция №2 – в \(8%\). В какой то момент времени наблюдательная станция №1 сообщила: объект находится в состоянии \(S_{1}\), а наблюдательная станция №2: объект находится в состоянии \(S_{2}\).
    Спрашивается: какому из сообщений следует верить?
    Решение. Естественно верить тому из сообщений, для которого больше вероятность того, что оно соответствует истине. Применим формулу Бейеса. Для этого сделаем гипотезы о состоянии объекта:
\(H_{1}\) - объект находится в состоянии \(S_{1}\),
\(H_{2}\)- объект находится в состоянии \(S_{2}\).
    Наблюденное событие \(A\) состоит в следующем: станция №1 сообщила, что объект находится в состоянии \(S_{1}\), а станция №2 – что он находится в состоянии \(S_{2}\). Вероятности гипотез до опыта

\(P(H_{1})=0,3\);  \(P(H_{2})=0,7\)
    Найдем условные вероятности наблюденного события \(A\) при этих гипотезах. При гипотезе \(H_{1}\), чтобы произошло событие \(A\), нужно, чтобы первая станция передала верное сообщение, а вторая –ошибочное: $$P(A|H_{1})=0,98\cdot 0,08=0,0784.$$     Аналогично $$P(A|H_{1})=0,92\cdot 0,02=0,0184.$$     Применяя формулу Бейеса, найдем вероятность того, что истинное состояние объекта - \(S_{1}\): $$P(A|H_{1})=\frac{0,3\cdot 0,0784}{0,3\cdot 0,0784+0,7\cdot 0,0184}\approx 0,0645,$$ т.е. из двух переданных событий более правдоподобным является сообщение первой станции.

---