Задача

За допомогою методом дотичних зробити шість кроків пошуку точки х* мінімуму функції

$$f(x)=0,4x^3-20ln(x)-7 $$

на відрізку [2; 3.5] і оцінити точність отриманого результату.

Розв’язання.

Знайдемо

$$f(2), f' (2), f(3,5), f' (3,5).$$

$$f' (x)=1,2x^2-20/x;$$

$$f(2)=3,2-13,8-7=-17,6;$$

$$f' (2)=4,8-10=-5,2;$$

$$f(3,5)=17,15-25,05-7=-14,9;$$

$$f' (3,5)=14,7-5,71=-8,99.$$

Крок 1. За формулою знайдемо с:

$$c=(3,5*f'(3,5)-2*f'(2)-f(3,5)+f (2))/(f'(3,4)-f'(2))=$$ $$=(31,465+10,4+14,9-17,6)/(8,99+5,2)=2,76.$$

Обчислюємо,

$$e_1=f' (2,76)=9,141-7,246=1,895.$$

Перевіримо $$|e_1 |$$ з $$ е =0,005;$$

$$(1,895>0,005)$$

процес продовжуємо.

Крок 2. Оскільки

$$(e_1 >0)$$

то

$$а = 2, b=2,76$$

$$f'(2,76)=1,895$$

і обчислюємо:

$$f(b)=f(2,76)=8,4-20,3-7=-18,9;$$

Обчислюємо с на відрізку : [2; 2,76]

$$c=(2,76*f'(2,76)-2*f'(2)-f(2,76)+f (2))/(f'(2,76)-f'(2))$$ $$=(5,23+10,41+18,9-17,6)/(1,89+5,2)=2,38;$$

Обчислюємо,

$$e_2=f' (2,28)=6,79-8,4=-1,61.$$

Порівнюємо

$$ -1,61<-0,05$$

процес продовжуємо.

Крок 3. Оскільки

$$ e_2 >0$$

то

$$a=2,38, b=2,76$$

$$f' (2,38)=-1,61$$

і обчислюємо:

$$f(a)=f(2,38)=5,39-17,34-7=-18,95.$$

Обчислюємо с на відрізку [2,38; 2,76]:

$$c=(2,76*f' (2,76)-2,38*f' (2,38)-f(2,76)+f (2,38))/(f' (2,76)-f' (2,38) )=$$ $$=(5,23+3,83+18,90-18,95=2,57)/3,505=2,57.$$

Обчислюємо,

$$e_3=f' (2,57)=7,93-7,77=0,16.$$

Порівнюємо

$$ 0,16>0,005$$

процес продовжуємо.

Крок 4. Оскільки

$$ e_3 >0$$

то

$$a=2,57, b=2,76 $$

$$f' (2,57)=0,16$$

і обчислюємо:

$$f(a)=f(2,57)=6,78-18,87-7=-19,09.$$

Обчислюємо с на відрізку [2,57; 2,76]:

$$c=(2,76*f' (2,76)-2,57*f' (2,57)-f(2,76)+f (2,57))/(f' (2,76)-f' (2,57) )=$$ $$=(5,23-0,41+18,9-19,09)/1,735=2,66.$$

Обчислюємо,

$$e_4=f' (2,66)=8,54-7,4=1,04.$$

Порівнюємо

$$ 1,04>0,005$$

процес продовжуємо.

Крок 5. Оскільки

$$e_4 >0,$$

то

$$ a=2,57, b=2,66 f' (2,66)=1,04$$

і обчислюємо:

$$f(b)=f(2,66)=7,52-19,56-7=-19,04.$$

Обчислюємо с на відрізку [2,57; 2,66]:

$$c=(2,66*f' (2,66)-2,57*f' (2,57)-f(2,66)+f (2,57))/(f' (2,66)-f' (2,57) )=$$ $$=(2,77-0,41+19,04-19,09)/0,885=2,61.$$

Обчислюємо,

$$e_5=f' (2,61)=8,17-7,66=0,51.$$

Порівнюємо

$$0,51>0,005$$

процес продовжуємо.

Крок 6. Оскільки

$$ e_5 >0,$$

то

$$ a=2,57, b=2,61 f' (2,61)=0,51$$

і обчислюємо:

$$f(b)=f(2,61)=7,11-19,18-7=-19,07.$$

Обчислюємо с на відрізку [2,57; 2,61]:

$$c=(2,61*f' (2,61)-2,57*f' (2,57)-f(2,61)+f (2,57))/(f' (2,61)-f' (2,57) )=$$ $$=(1,33-0,41+19,07-19,09)/0,35=2,56.$$

Обчислюємо,

$$e_6=f' (2,56)=7,814-7,81=0,004.$$

Порівнюємо

$$ 0,004<0,005$$

процес завершуємо.

Отже,

$$x^*=2,56.$$

$$f_{min}=f(2,56)=-19,09$$

Точність обчислення:

$$е=(2,61-2,57)/2=0,02.$$

Відповідь:

$$ x^*=2,56.$$


2016-06-01 • Просмотров [ 39 ]