Условие

Пусть

$$Х = Х_1+Х_2,$$

где \(Х_1\) и \(Х_2\)—независимые случайные величины, имеющие центральные моменты третьего порядка, соответственно равные \(\mu_3^1+\mu_3^2.\)

Доказать, что

$$\mu_3 = \mu_3^1+\mu_3^2.$$

где \(\mu_3\)—центральный момент третьего порядка величины \(X.\)

Решение. Введем для простоты записи следующие обозначения математических ожиданий:\(M(X_1)=а_1, М(Х_2)=а_2.\) Тогда

$$М (X) = М(Х_1 + X_2) = М (Х_1) + М (Х_2) = а_1 + а_2.$$

По определению центральный момент третьего порядка,

$$\mu_3 = М [X - М (Х)]^3= М [(Х_1 + Х_2) - (а_1 + а_2)]^3=$$

$$= М[(Х_1-a_1)+(Х_2-а_2)]^3.$$

Используя свойства математического ожидания (математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, математическое ожидание произведения независимых величин равно произведению математических ожиданий сомножителей), получим

$$\mu_3 = M ([(Х_1—a_1))^3+3(Х_1—a_1)^2*(Х_2—а_2)+$$

$$+3 (Х_1 -а_1)*(Х_2—а_2)^2 + (X_2 -а_2)^3] =$$

$$=М [Х_1-а_1]^3 + М [3(Х_1-a_1)^2]*М [Х_3-a_2] +$$

$$М[3 (Х_2—а_2)^2]* М [Х_1—а_1]+М [Х_2—а_2]^3.$$

Учитывая, что математическое ожидание отклонения (разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием) равно нулю, т. е.

\(М[Х_1-а_1]=0\) и \(М [Х_2—а_2] =0, \) окончательно имеем

Ответ

$$\mu_3 = М [Х_1—а_1]^3 + М [Х_2—a_2]^3=\mu_3^1+\mu_3^2.$$


2018-05-13 • Просмотров [ 54 ]