Условие

Задана функция распределения \(F (x) \)случайной величины X. Найти функцию распределения \(G (y)\) случайной величины \(Y=- (2/3) X + 2. \)

Решение. По определению функции распределения,

$$G (y) =P (Y < y).$$

Поскольку функция \(y =- (2/3) х+2\)-убывающая, то неравенство \(Y < y \)выполняется, если имеет место неравенство \(X > x,\) поэтому \(G(y)= P(Y<y)=P(X>x).\)

События \(X < x\) и \(X > x \)противоположны, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице: \(Р (Х < х) + Р (Х > х) = 1. \)

Отсюда

$$Р (X > х) =1-Р (Х < x)= 1 - F(x). $$

следовательно,

(*)$$G(y)=1-F(x).$$

Из уравнения \(у =- (2/3) x+ 2\) выразим \(x:\)

(**)$$x=3 (2-у)/2.$$

Подставив \((**)\) в \((*),\) окончательно получим

Ответ:

$$G (у) =1-F [3 (2-у)/2]. $$


2018-05-13 • Просмотров [ 25 ]