Задача 1. \(y'+y \tan x = \sec x.\)
Решение. Сначала находим все решения однородного уравнения, соответствующего данному:
$$y'+y \tan x = 0.$$
Переменные разделяются, и после интегрирования находим
$$y=C\cos x.$$
Данная формула представляет общее решение однородного уравнения, где \(C\) — произвольная постоянная. Для получения всех решений данного уравнения считаем \(C=C(x)\) и требуем, чтобы функция \(y=C(x)\cos x\) удовлетворяла ему, т. е.
$$C'\cos x - C\sin x + C\cos x \tan x = \sec x,$$
или \(C'=\frac{1}{\cos^2x}\). Отсюда находим \(C(x)= \tan x + C_0\), где \(C_0\) — новая произвольная постоянная.
Подставив значение \(C(x)\), окончательно получим
$$y=\sin x + C_0 \cos x.$$
Примечание. В дальнейшем для новой произвольной постоянной будем использовать старое обозначение \(C\). Таким образом, в рассмотренном примере \(y=\sin x + C \cos x\) есть общее решение, а \(C\) — постоянная.
Задача 2. \((2x+1)y'=4x+2y.\)
Решение. Решаем соответствующее однородное уравнение
$$(2x+1)y'=2y.$$
Его общее решение имеет вид \(y=C(2x+1)\). Применим метод вариации произвольной постоянной. Имеем
$$\left(C'(2x+1)+2C \right)(2x+1)=4x+2C(2x+1),$$
или \((2x+1)^2C'=4x\). Отсюда находим
$$C(x)=4 \int {\frac{xdx}{(2x+1)^2}}+ C_0 = \ln \left|2x+1 \right|+\frac{1}{2x+1} + C_0.$$
Таким образом, окончательно получаем
$$y=(2x+1)(\ln \left|2x+1 \right| + C) + 1.$$
Задача 3. \((x+y^2)dy=ydx,\; M(1,1).\)
Решение. Уравнение не является линейным относительно переменной \(y\), однако оно линейное относительно \(x\). Поэтому целесообразно считать \(x\) функцией \(y\). Считая \(dy\neq 0\) (\(y=0\) — тривиальное решение), имеем
$$x+y^2=y\frac{dx}{dy}.$$
Соответствующее однородное уравнение \(x=y\frac{dx}{dy}\) имеет общее решение \(x=Cy\). Применив метод вариации произвольной постоянной, получим последовательно
$$Cy+y^2=y(C'y+C),\; C'=1,\; C=y+C_0.$$
Следовательно, все решения данного уравнения описываются формулами
$$x=Cy+y^2;\; y=0.$$
Замечание. Переписав первую формулу в решение в виде \(y=\frac{x-y^2}{C}\) и положив \(C= \infty\), получим решение \(y=0\). Таким образом, если допустить, что постоянная \(C\) может принимать сингулярное значение, то решение \(y=0\) можно не выписывать отдельно.
Полагая \(x=1, y=1\), находим \(C=0\). Тогда получим частное решение \(x=y^2\).
