Дослідити на екстремум функцію $$z=x^3+y^3-3xy.$$
Розв'язання
Знаходимо частинні похідні функції z першого порядку. $$\frac{\partial z}{\partial x}=3(x^2-y);\; \frac{\partial z}{\partial y}=3(y^2-x).$$
Прирівнюючи нулю ці похідні, отримаємо систему для визначення стаціонарних точок: $$\begin{cases} x^2-y=0,& \\ y^2-x=0.& \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} y^4-y=0,& \\ x=y^2.& \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} y(y^3-1)=0,& \\ x=y^2.& \end{cases}\Rightarrow$$ $$\Rightarrow \begin{cases} y=0;& \\ x=0.& \end{cases}\; \begin{cases} y=1;& \\ x=1.& \end{cases}$$
Маємо дві стаціонарні точки: \(M_1(0,0)\) та \(M_2(1,1).\)
Для перевірки достатніх умов екстремуму знаходимо частинні похідні другого порядку. $$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=6x;\;\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=-3;\;\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=6y.$$
Тоді для точки \(M_1(0,0)\) маємо: $$A=\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\mid _{M_1}=0;\;B=\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\mid _{M_1}=-3;\;C=\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}\mid _{M_1}=0;$$ $$\Delta=AC-B^2=-9<0 \Rightarrow$$ точка \(M_1\) не є точкою екстремуму.
Для точки \(M_2(1,1)\) маємо: $$A=\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\mid _{M_2}=6;\;B=\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\mid _{M_2}=-3;\;C=\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}\mid _{M_2}=6;$$ $$\Delta=AC-B^2=36-9=25>0, A=6>0.$$
Отже, точка \(M_2(1,1)\) - точка локального мінімуму.
Знайдемо значення функції z у цій точці: $$z_{min}=z\mid _{M_2}=(x^3+y^3-3xy)\mid _{x=1}^{y=1}=1+1-3=-1.$$
Зауважимо, що для встановлення типу стаціонарної точки можна також безпосередньо досліджувати знак другого диференціала як квадратичної форми змінних dx і dy, використовуючи метод виділення повного квадрата.
Для точки \(M_2\) це виглядає так: $$d^2z(M_2;dx,dy)=6dx^2-3dxdy+6dy^2=6\left (dx-\frac{1}{4}dy\right)^2+\frac{45}{8}dy^2,$$
звідки видно, що для будь-яких dx,dy, не рівних одночасно нулю, \(d^2z>0,\) отже, точка \(M_2\) - точка мінімуму.

---