Пример 1. Найти интеграл
$$\int \frac{x^2+2x+6}{(x-1)(x-2)(x-4)}dx.$$
Так как каждый из двухчленов \(x-1, \) \(x-2, \) \( x-4\) входит в знаменатель в первой степени, то данная правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей І типа:
$$\frac{x^2+2x+6}{(x-1)(x-2)(x-4)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-4}.$$
Освобождаясь от знаменателей, получим
$$x^2+2x+6=A(x-2)(x-4)+B(x-1)(x-4)+C(x-1)(x-2).(*)$$
Следовательно,
$$x^2+2x+6=A(x^2-6x+8)+B(x^2-5x+4)+C(x^2-3x+2).$$
Сгрупируем члены с одинаковыми степенями:
$$x^2+2x+6=(A+B+C)+(-6A-5B-3C)x+(8A+4B+2C).$$
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) , получаем систему уравнений
$$\begin{cases} & \text{ }A+B+C =1, \\ & \text{ } -6A-5B-3C=2, \\ & \text{ } 8A+4B+2C=6, \end{cases}$$
из которой найдем \(A=3, B=-7, C=5.\)
Итак, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид
$$\frac{x^2+2x+6}{(x-1)(x-2)(x-4)}=\frac{3}{x-1}-\frac{7}{x-2}+\frac{5}{x-4},$$
Неизвестные \(A,B,C\) в разложении можно было определить и иначе. После освобождения от знаменателя можно придать \(x\) столько частных значений, сколько содержится в системе неизвестных, в данном случае - три частных значения.
Особенно удабно придавать \(x\) значения, являющиеся действительными корнями знаменателя. Применим этот прием к решению данного примера. После освобождения от знаменателя мы получим равенство (*). Действительными корнями знаменателя являются числа 1, 2, 4. Положим в этом равенстве \(x=1\) , тогда
$$1^2+2\cdot 1+6=A(1-2)(1-4)+B(1-1)(1-4)+C(1-1)(1-2),$$
откуда \(9=3A\) ,т.е. \(A=3\). Полагая x=2, получаем \(14=-2B\) , т.е. \(B=-7\); полагая \(x=4\), имеем \(30=6C\), т.е. \(C=5\) В результате получились те же значения, что и при первом способе определения неизвестных.
Таким образом
$$\int \frac{x^2+2x+6}{(x-1)(x-2)(x-4)dx}=3\int \frac{dx}{x-1}-7\int \frac{dx}{x-2}+5\int \frac{dx}{x-4}=$$
$$=3\ln \left|x-1 \right|-7\ln \left|x-2 \right|+5\ln \left|x-4 \right|+C=\ln \left|\frac{(x-1)^3(x-4)^5}{(x-2)^7} \right|+C.$$
Пример 2. Найти интеграл
$$\int \frac{dx}{x^5-x^2}.$$
Разложим знаменатель на множители:
$$x^5-x^2=x^2(x^3-1)=x^2(x-1)(x^2+x+1).$$
Тогда
$$\frac{1}{x^5-x^2}=\frac{1}{x^2(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{A}{x^2}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x-1}+\frac{Dx+E}{x^2+x+1}.$$
Освождаемся от знаменателя
$$1=A(x-1)(x^2+x+1)+Bx(x-1)(x^2+x+1)+Cx^2(x^2+x+1)+(Dx+E)x^2(x-1).$$
Действительными корнями знаменателя являются числа 0 и 1 .
При \(x=0\) имеем \(1=-A\), т.е. \(A=-1\) ; при \(x=1\) имеем \(1=3C\) , т.е. \(C=1/3\).
Перепишем предыдущее равенство в виде
$$1=A(x^3-1)+B(x^4-x)+C(x^4+x^3+x^2)+Dx^4+Ex^3-Dx^3-Ex^2.$$
Сравнивая коэффициенты при \(x^4,x^3,x^2\) , получаем систему уравнений
$$\begin{cases} & \text{ } B+C+D=0, \\ & \text{ } A+C+E-D=0, \\ & \text{ } C-E=0, \end{cases}$$
из которой найдем \(B=0,D=1/3,E=1/3.\) Итак,
$$\frac{1}{x^5-x^2}=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{3(x-1)}-\frac{x-1}{3(x^2+x+1)}.$$
Следовательно,
$$\int \frac{dx}{x^5-x^2}=-\int \frac{dx}{x^2}+\frac{1}{3}\int \frac{dx}{x-1}-\frac{1}{3}\int \frac{x-1}{x^2+x+1}dx=$$
$$=\frac{1}{x}+\frac{1}{3}\ln \left|x-1 \right|-\frac{1}{6}\int \frac{2x+1-3}{x^2+x+1}dx=$$
$$=\frac{1}{x}+\frac{1}{3}\ln \left|x-1 \right|-\frac{1}{6}\ln (x^2+x+1)+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}=$$
$$=\frac{1}{x}+\frac{1}{3}\ln \left|x-1 \right|-\frac{1}{6}\ln \frac{(x-1)^2}{x^2+x+1}+\frac{1}{\sqrt 3}arctg\frac{2x+1}{\sqrt 3}+C.$$
Среди корней знаменателя имеются кратные комплексные корни, т.е. разложение знаменателя содержит повторяющиеся квадратные множители.
Пример 3. Найти интеграл
$$\int \frac{xdx}{x^4+6x^2+5}.$$
Преобразуем $$x^4+6x^2+5=(x^2+3)^2-4.$$ Теперь имеем
$$\int \frac{xdx}{x^4+6x^2+5}=\int \frac{xdx}{(x^2+3)^2-4}.$$
Произведем замену \(x^2+3=t\), тогда \(2xdx=dt\)
$$\int \frac{xdx}{x^4+6x^2+5}=\int \frac{xdx}{(x^2+3)^2-4}=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^2-4}=$$
$$=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}\ln \left|\frac{t-2}{t+2} \right|+C=\frac{1}{8}\ln \frac{x^2+1}{x^2+5}+C.$$
2012-12-17 • Просмотров [ 5126 ]
