Вычислить статический момент однородной пластины D, ограниченной линиями
\(x^2+y^2+2ay=0, y-x\leq 0, y+x\leq 0,\)
(рисунок 1.1) относительно оси ОХ использовав полярные координаты. Поверхностная плотность пластины \(\rho =1\) .
Решение:
Статический момент относительно оси ОХ данной пластины определяется по формуле
\(Mk=\int \int_{D}{y\rho }(x,y)dxdy\)
В полярных координатах область D переходит в область
\(D:0\leq \rho \leq 2\alpha sin\varphi , -\frac{3\pi }{4}\leq \varphi \leq -\frac{\pi }{4}\).
Поэтому получаем:
\(Mk=\int \int_{D}{y\rho }(x,y)dxdy=\int \int_{D}{\rho ^2}sin \varphi d \rho d \varphi =\)
\(=\int_{\frac{3\pi }{4}}^{-\frac{\pi }{4}}{sin \varphi d \varphi }\int_{0}^{2\alpha sin \varphi }{\rho ^2 \rho d}=\int_{\frac{-3\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{sin \varphi\frac{2\alpha ^3sin^3\varphi }{3}D\varphi }=\)
\(=\frac{2\alpha ^3}{3}\int_{\frac{-3\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{sin^4\varphi d\varphi }=\frac{2\alpha ^3}{3}(\frac{3}{8}\varphi -\frac{sin2\varphi }{4}+\frac{sin 4\varphi }{32})\mid_{-\frac{3\pi }{4}}^{-\frac{\pi }{4}}=\)
\(=\frac{2\alpha ^3}{3}((-\frac{3\pi }{32}-\frac{sin(-\frac{\pi }{2})}{4}+\frac{sin(-\pi )}{32})-\)
\(-((-\frac{9\pi }{32}-\frac{sin(\frac{-3\pi }{2})}{4}+\frac{sin(-3\pi )}{32})))=\)
\(=\frac{2\alpha ^3}{3}(-\frac{3\pi }{32}+\frac{9\pi }{32}-\frac{1}{4}+\frac{1}{32})=\frac{2\alpha ^3}3(\frac{6\pi }{32}+\frac{1}{2})=\alpha ^3(\frac{\pi }{8}+\frac{1}{3})\)
\(=\int_{\frac{3\pi }{4}}^{-\frac{\pi }{4}}{sin \varphi d \varphi }\int_{0}^{2\alpha sin \varphi }{\rho ^2 \rho d}=\int_{\frac{-3\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{sin \varphi\frac{2\alpha ^3sin^3\varphi }{3}D\varphi }=\)
\(=\frac{2\alpha ^3}{3}\int_{\frac{-3\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{sin^4\varphi d\varphi }=\frac{2\alpha ^3}{3}(\frac{3}{8}\varphi -\frac{sin2\varphi }{4}+\frac{sin 4\varphi }{32})\mid_{-\frac{3\pi }{4}}^{-\frac{\pi }{4}}=\)
\(=\frac{2\alpha ^3}{3}((-\frac{3\pi }{32}-\frac{sin(-\frac{\pi }{2})}{4}+\frac{sin(-\pi )}{32})-\)
\(-((-\frac{9\pi }{32}-\frac{sin(\frac{-3\pi }{2})}{4}+\frac{sin(-3\pi )}{32})))=\)
\(=\frac{2\alpha ^3}{3}(-\frac{3\pi }{32}+\frac{9\pi }{32}-\frac{1}{4}+\frac{1}{32})=\frac{2\alpha ^3}3(\frac{6\pi }{32}+\frac{1}{2})=\alpha ^3(\frac{\pi }{8}+\frac{1}{3})\)
Рисунок 1.1
Oтвет: \(\alpha ^3(\frac{\pi }{8}+\frac{1}{3})\)
2012-12-25 • Просмотров [ 14593 ]
