Задача. Найти минимум функции:

$$f(x_1; x_2)=25x_1^2+x_1x_2+5x_2^2+6x_1-4x_2$$

если переменные удовлетворяют равенство:

$$2x_1-x_2+3=0$$

Решение:

Составляем функцию Лагранжа:

$$L(x_1;x_2;\lambda)=25x_1^2+x_1x_2+5x_2^2+6x_1-4x_2+\lambda(2x_1-x_2+3)$$

Находим частные производные:

$$\frac{\partial L}{\partial x_1}=50x_1+x_2+6+2\lambda$$

$$\frac{\partial L}{\partial x_2}=x_1+10x_2-4-\lambda$$

$$\frac{\partial L}{\partial \lambda}=2x_1-x_2+3$$

Составляем систему:

$$ \left\{ \begin{aligned} &50x_1+x_2+6+2\lambda=0\\ &x_1+10x_2-4-\lambda=0\\ &2x_1-x_2=-3\\ \end{aligned} \right. $$

$$ \left\{ \begin{aligned} &x_1=-0,64\\ &x_2=1,7\\ &\lambda=12,37\\ \end{aligned} \right. $$

$$\frac{\partial^2 L}{\partial \lambda \partial x_2}=\frac{\partial^2 L}{\partial x_2 \partial \lambda}=-1$$

$$\frac{\partial^2 L}{\partial \lambda \partial x_1}=\frac{\partial^2 L}{\partial x_1 \partial \lambda}=2$$

$$\frac{\partial^2 L}{\partial \lambda^2}=0$$

$$\frac{\partial^2 L}{\partial x_1^2}=50$$

$$\frac{\partial^2 L}{\partial x_2^2}=10$$

$$\frac{\partial^2 L}{\partial x_1 \partial x_2}=\frac{\partial^2 L}{\partial x_2 \partial x_1}=1$$

Составляем определитель:

$$\Delta=-\begin{vmatrix} 0 & 2 & 1\\ 2 & 50 & 1\\ 1 & 1 & 10\\ \end{vmatrix} =-(86)=86>0$$

а значит при \(x_1=-0,64, x_2=1,7\) функция имеет условный минимум: \(f_{min}=12,962\)

---