Применяя формулы и правила дифференцирования, найти производные следующих функций:
1) \(y= \ln \tan \frac{x}{2}.\)
$$y'=\frac{1}{ \tan (x/2)} \cdot ( \tan (x/2))'=\frac{1}{\tan (x/2)} \cdot \sec ^2 (x/2) \cdot (x/2)'=$$
$$\frac{1}{ 2 \tan (x/2) \cos ^2 (x/2)}=\frac{1}{ 2 \sin (x/2) \cos (x/2)}=\frac{1}{\sin x}.$$
2) \(y=\ln(x+\sqrt{x^2+1}).\)
$$y'=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot (x+\sqrt{x^2+1})'=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \left(1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} \right)=$$
$$=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}.$$
3) \(y=\arctan \frac{\ln x}{3}).\)
$$y'=\frac{1}{1+(\ln ^2 x)/9} \cdot \frac{1}{3x}=\frac {3}{x(9+ \ln ^2 x)}.$$
4) \(y= x^{x^2}.\)
Здесь основание и показатель степени зависят от \(x.\) Логарифмируя, получим \( \ln y=x^2 \ln x.\) Продифференцируем обе части последнего равенства по \(x.\) Так как \(y\) является функцией от \( x,\) то \(\ln y\) есть сложная функция \(x\) и \( (\ln y)'=\frac{1}{y} \cdot y'.\) Следовательно,
$$\frac{y'}{y}=x^2 \cdot \frac{1}{x}+2x \ln x, \frac{y'}{y}=x(1+2 \ln x),$$
т.е.
$$y'=xy(1+2 \ln x) = xx^{x^2}(1+2 \ln x) = x^{x^2+1}(1+2 \ln x).$$
