Обчислити подвійний інтеграл $${\int \int}_{D} \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}} dxdy,$$
де область D обмежена еліпсом: \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.\)
Розв'язання:
Перейдемо до узагальнених полярних координат, поклавши: \(x= a \rho\cos \varphi, \;y= b \rho\sin \varphi.\) Тоді рівняння еліпса у цих координатах: $$\frac{a^2 \rho^2\cos^2 \varphi}{a^2}+\frac{b ^2\rho^2\sin^2 \varphi}{b^2}=1\Rightarrow \rho^2=1\Rightarrow \rho=1.$$
Отже, \(0\leq \rho\leq 1.\) Кут \(\varphi\) змінюється від \(0\) до \(2\pi\). Тоді $${\int \int}_{D} \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}} dxdy=\left|\matrix{x=a \rho\cos \varphi,& D\rightarrow D',\\ y= b\rho\sin \varphi,& D':0\leq\rho\leq 1,\\dxdy=a b\rho d \rho d \varphi,&0\leq \varphi\leq 2\pi}\right|=$$ $$={\int \int}_{D} \sqrt{1-\rho^2} a b\rho d \rho d \varphi=a b \int_{0}^{2\pi}{d \varphi}\int_{0}^{1}{\sqrt{1-\rho^2} \rho d \rho}=$$ $$=ab\cdot 2\pi\left(-\frac{1}{2}\cdot \frac{2(1-\rho^2)^{3/2}}{3} \right)\mid _{0}^{1}=\frac{2}{3}\pi ab.$$

---