Пример 1. Решить систему дифференциальных уравнений

$$\begin{cases} & \text{ } \frac{dx}{dt}=x+y \\ & \text{ } \frac{dy}{dt}= x-y \end{cases}$$

при начальных условиях \(x(0)=2,y(0)=0.\)

Продиференцируем по \(t\) первое уравнение :

$$\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{dx}{dt}+\frac{dy}{dt}$$

исключаем из полученного уравнения \(\frac{dy}{dt}\) и \(y\) , имеем \(\frac{d^2x}{dt^2}-2x=0\) . Характерестическое уравнение \(k^2-2=0\) имеем корни \(k_{1,2}=\pm \sqrt 2\). Следовательно, общее решение для \(x\) запишем в виде

$$x=C_1e^{t\sqrt 2}+C_2e^{-t\sqrt 2}.$$

Общее решение для \(y\) находим из первого уравнения:

$$y=\frac{dx}{dt}-1=C_1(\sqrt 2-1)e^{t\sqrt 2}-C_2(\sqrt 2-1)e^{-t\sqrt 2}.$$

Воспользуемся начальными условиями для нахождения произвольных постоянных:

$$C-1+C_2=2, \sqrt 2(C_1-C_2)-(C_1-C_2)=0.$$

Отсюда \(C_1=(\sqrt 2+2)/2,C_2=(2-\sqrt 2)/2.\) Таким образом, искомое частное решение имеет вид

$$x=(\frac{\sqrt 2}{2}+1)e^{t\sqrt 2}+(1- \frac{\sqrt 2}{2})e^{-t\sqrt 2},y=\frac{\sqrt 2}{2}e^{t\sqrt 2}-\frac{\sqrt 2}{2}e^{-t\sqrt 2}.$$

Пример 2. Найти общее решение системы уравнений

$$\begin{cases} & \text{ } \frac{dx}{dt}= 6x-12y-z \\ & \text{ } \frac{dt}{dy}= x-3y-z \\ & \text{ } \frac{dz}{dt}= -4x+12y+3z. \end{cases}$$

Составляем характеристическое уравнение матрицы системы:

$$\begin{vmatrix} 6-\lambda & 12 &-1 \\ 1& -3-\lambda &-1 \\ -4 & 12 & 3-\lambda \end{vmatrix}=0.$$

Раскрывая определить находим

$$(6-\lambda ) (\lambda -9)-48-12+12+4\lambda +72-12\lambda +36-12\lambda =0$$

или окончательно \(\lambda ^3-6\lambda ^2+11\lambda -6=0\). Этоуравнение имеет корни \(\lambda _1=1,\lambda _2=2,\lambda _3=3.\) Определяем собственные векторы матрицы \(A\)

При \(\lambda =1\) получаем систему уравнений

$$\begin{cases} & \text{ } 5p_1-12p_2-p_3=0 \\ & \text{ } p_1-4p_2-p_3=0 \\ & \text{ } -4p_1+12p_2+2p_3= 0 \end{cases}$$

одно из которых следствие двух других. Возьмем, например, первые два уравнения

$$5p_1-12p_2-p_3=0 , p_1-4p_2-p_3=0$$

Отсюда

$$p_1=\begin{vmatrix} -12&-1 \\ -4 &-1 \end{vmatrix}\cdot k=8k, p_2=-\begin{vmatrix} 5&-1 \\ 1 &-1 \end{vmatrix}\cdot k=4k, p_3=\begin{vmatrix} 5&-12 \\ 1&-4 \end{vmatrix}\cdot k=-8k.$$

Приняв \(k=1/4\), получаем \((2;1;-2)\)

При \(\lambda =2\) имеем систему

$$\begin{cases} & \text{ } 4p_1-12p_2-p_3= 0,\\ & \text{ } p_1-5p_2-p_3= 0,\\ & \text{ } -4p_1+12p_2+p_3= 0. \end{cases}$$

Снова используя первые два уравнения (третье - их следствие), находим

$$p_1=\begin{vmatrix} -12&-1 \\ -5&-1 \end{vmatrix}\cdot k=7k,p_2=-\begin{vmatrix} 4&-1 \\ 1&-1 \end{vmatrix}\cdot k=3k, p_3=\begin{vmatrix} 4&-12 \\ 1&-5 \end{vmatrix}\cdot k=8k.$$

Полагая \(k=1\), находим собственый вектор \((7;3;-8)\)

При \(\lambda =3\) имеем систему

$$\begin{cases} & \text{ } 3p_1-12p_2-p_3= 0, \\ & \text{ } p_1-6p_2-p_3= 0, \\ & \text{ } -4p_1+12p_2= 0. \end{cases}$$

Из последнего уравнения находим \(p_1=3p_2.\). Подставляем это значение \(p_1\) в первое уравнение и находим \(p_3=-3p_2\). Приняв \(p_2=1\), получаем \(p_1=3\), \(p_3=-3\) тоесть собственный вектор \((3;1;-3).\)

Фундаментальная система решений :

$$\lambda =1 : x_{11}=2e^t,x_{21}=e^t,x_{31}=-2e^t,$$

$$\lambda =2 : x_{12}=7e^{2t},x_{22}=3e^{2t},x_{32}=-8e^{2t},$$

$$\lambda =3 : x_{13}=3e^{3t},x_{23}=e^{3t},x_{32}=-3e^{3t}.$$

Общее решение записывается в виде

$$x_1=2C_1e^t+7C_2e^{2t}+3C_3e^{3t},$$

$$x_2=C_1e^t+3C_2e^{2t}+C_3e^{3t},$$

$$x_3=-2C_1e^t-8C_2e^{2t}-3C_3e^{3t}.$$

2012-12-16 • Просмотров [ 4158 ]