Задача 1
Найти скалярное произведение векторов \(a=3i+4j+7k\) и \(b=2i-5j+2k\).
Решение 1
Находим \(a\cdot b=3\cdot 2+4\cdot(-5)+7\cdot 2=0\). Так как \(a\cdot b=0\) и \(a\neq 0\), \(b\neq 0\), то \(a \perp b\).
Задача 2
Определить угол между векторами \(a=i+2j+3k\) и \(b=6i+4j-2k\).
Решение 2
Так как \(a \cdot b = ab \cos \phi \) то \( \cos \phi = \frac{a \cdot b}{ab}\). Имеем \(a \cdot b =1 \cdot 6+2 \cdot 4+3(-2)=8\), \(a=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}\), \(b=\sqrt{36+16+4}=2\sqrt{14}\).
Следовательно, \(\cos \phi = \frac{8}{\sqrt{14}\cdot 2\sqrt{14}}=\frac{2}{7}\) и \(\phi = \arccos\frac{2}{7}\).
Задача 3
Найти векторное произведение вектров \(a=2i+3j+5k\) и \(b=i+2j+k\).
Решение 3
Имеем
$$
a\times b =
\left|
\matrix
{
i & j & k\\
2 & 3 & 5\\
1 & 2 & 1
}
\right|
=i
\left|
\matrix
{
3 & 5 \\
2 & 1
}
\right|
-j
\left|
\matrix
{
2 & 5 \\
1 & 1
}
\right|
+k
\left|
\matrix
{
2 & 3 \\
1 & 3
}
\right|
,
$$
т.е. \(a\times b = -7i+3j+k\)
Задача 4
Найти смешанное произведение векторов \(a=2i-j-k\), \(b=i+3j-k\), \(c=i+j+k\).
Решение 4
$$
abc=
\left|
\matrix
{
2 & -1 & -1\\
1 & 3 & -1\\
1 & 1 & 4
}
\right|
=2
\left|
\matrix
{
3 & -1 \\
1 & 4
}
\right|
+1
\left|
\matrix
{
1 & -1 \\
1 & 4
}
\right|
-1
\left|
\matrix
{
1 & 3 \\
1 & 1
}
\right|
=26+5+2=33.
$$
