Приклад . Розкласти функцiю sin x у степеневий ряд.
Розв’язання. Оскiльки для функцiї f(x) = sin x
$$\large f^{(n)}(x)=sin(x+\frac{n \pi}{2})$$
де n = 0, 1, 2, . . ., то для неї можна побудувати ряд Тейлора у будь-якiй точцi x0 ∈ R, тобто ряд
$$\large \sum_{n=0}^{\infty}\frac{sin(x_0+\frac{n\pi}{2})}{n!}(x-x_0)^n$$
Врахувавши, що для всiх x з будь-якого iнтервалу (−h, h) i для n = 0, 1, 2, . . .\(\large \left|f^{(n)}(x) \right |\leq 1\) , маємо, що \(\large r_n(x)\rightarrow 0\) при n → ∞, а отже, для всiх x ∈ R 
$$\large sinx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{sin(x_0+\frac{n\pi}{2})}{n!}(x-x_0)^n$$ 
Якщо покласти \(\large x_0=0\) i врахувати, що 
$$\large sin\frac{n\pi}{2}=\begin{cases} 0, \text { } n=2k,\\ (-1) \text{ } n=2k+1 \end{cases}$$
де k = 0, 1, 2, . . ., то для всiх x ∈ R 
$$\large sinx=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$
Зауважимо, що за iнтервал (\(\large x_0\)− h; \(\large x_0\) + h), для якого перевiряється той факт, що \(\large r_n\) → 0 при n → ∞ для всiх x ∈ (\(\large x_0\) − h; \(\large x_0\) + h), як правило, береться iнтервал збiжностi.

---