ЗАДАНИЕ Найти длину дуги кривой.
$$r=2\varphi ,0\leq \varphi \leq 1.$$
РЕШЕНИЕ:
Вычисляем производную: \(\rho '=(2\varphi )'=2\).
Вычисляем
$$dl=\sqrt{\rho ^2+\rho ^{'2}}d\varphi ==\sqrt{4\varphi ^2+4}d\varphi =2\sqrt{\varphi ^2+1}d\varphi .$$
Тогда длина дуги кривой равна:
$$l=\int_{0}^{1}{dl}=\int_{0}^{1}{2\sqrt{\varphi ^2+1}d\varphi }=2\int_{0}^{1}{\sqrt{\varphi ^2+1}d\varphi }=$$
Вычислим отдельно интеграл:
$$l=\int \sqrt{\varphi ^2+1}d\varphi =\varphi \sqrt{\varphi ^2+1}-\int \frac{\varphi ^2d\varphi }{\sqrt{\varphi ^2+1}}=$$ $$=\varphi \sqrt{\varphi ^2+1}-\int \frac{1}{\sqrt{\varphi ^2+1} }d\varphi=\varphi \sqrt{\varphi 2+1}-l+ln\left|\varphi +\sqrt{\varphi ^2+1} \right|+C,$$
$$2I=\varphi \sqrt{\varphi ^2+1}+ln\left|\varphi +\sqrt{\varphi ^2+1} \right|+C,$$
$$I=\frac{1}{2}\varphi \sqrt{\varphi ^2+1}+\frac{1}{2}ln\left|\varphi +\sqrt{\varphi ^2+1} \right|+C.$$
Возвращаемся к интегралу:
$$=\left(\varphi \sqrt{\varphi ^2+1}+ln\left|\varphi +\sqrt{\varphi ^2+1} \right| \right)\mid _0^1=\sqrt{2}+ln\left(1+\sqrt{2} \right).$$
ОТВЕТ: \(\sqrt{2}+ln\left(1+\sqrt{2} \right).\)
