Задача

Вычислить определитель $$ \left| \matrix { 3 & 5 & 7 & 2\\ 1 & 2 & 3 & 4\\ -2 & -3 & 3 & 2\\ 1 & 3 & 5 & 4 } \right|. $$

Решение

Произведем следующие действия: 1) из элементов 1-й строки вычтем утроенные элементы 2-й строки; 2) к элементам 3-й строки прибавим удвоенные элементы 2-й строки; 3) из элементов 4-й строки вычтем элементы 2-й строки. Тогда исходный определитель преобразуется к виду $$D= \left| \matrix { 0 & -1 & -2 & -10\\ 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 9 & 10\\ 0 & 1 & 2 & 0 } \right|. $$ Разложим этот определитель по элементам 1-го столбца: $$D=- \left| \matrix { -1 & -2 & -10\\ 1 & 9 & 10\\ 1 & 2 & 0 } \right|. $$ Прибавляя к элементам 1-й строки элементы 3-й строки и вычитая из элементов 2-й строки элементы 3-й строки, получим $$D=- \left| \matrix { 0 & 0& -10\\ 0 & 7 & 10\\ 1 & 2 & 0 } \right|. $$ Разложим определитель по элементам 1-го столбца: $$D=- \left| \matrix { 0 & -10\\ 7 & 10 } \right|=-70. $$