Завдання
Обчислити площу фігури, яка обмежена лемніскатою Бернуллі з рівнянням: $$(x^2+y^2)^2 = a^2(x^2-y^2).$$
Розв'язання:
Оскільки лемніската Бернуллі симетрична відносно координатних осей, то \(S=4S_D.\)
Перейдемо до полярних координат \(x=\rho\cos \varphi, \;y=\rho\sin \varphi,\) тоді рівняння лемніскати перетвориться на рівняння: $$(\rho^2\cos^2 \varphi+\rho^2\sin^2 \varphi)^2 = a^2(\rho^2\cos^2 \varphi-\rho^2\sin^2 \varphi),$$ $$\rho^4=a^2\rho^2(\cos^2 \varphi-\sin^2 \varphi),\;\rho=a^2\cos 2 \varphi.$$
Враховуючи, що \(\rho\geq 0,\) маємо \(\rho=a \sqrt{\cos 2 \varphi},\;0\leq \varphi\leq \frac{\pi}{4}.\)
Тоді $$S=4S_D=4{\int \int}_{D} dxdy =$$ $$=\left|\matrix{x=\rho\cos \varphi,& D\rightarrow D',\\ y=\rho\sin \varphi,& D':0\leq\rho\leq a\sqrt{\cos 2 \varphi},\\dxdy=\rho d \rho d \varphi,&0\leq \varphi\leq \frac{\pi}{4}.}\right|$$ $$=4{\int \int}_{D}\rho dxdy = 4\int_{0}^{\pi/4}{d\varphi}\int_{0}^{a\sqrt{\cos2 \varphi}}\rho{d\rho}=4\int_{0}^{\pi/4}\left(\frac{\rho^2}{2}\mid_{0}^{a\sqrt\cos 2 \varphi} \right){d\varphi}=$$ $$=4\frac{a^2}{2}\int_{0}^{\pi/4}\cos2 \varphi = a^2(\sin 2 \varphi)\mid _{0}^{\pi/4}=a^2.$$
2012-12-08 • Просмотров [ 2025 ]
