Доведіть за допомогою методу математичної індукції.
Рішення
\(\large 7^n+3^n-2\) кратне \(\large 8\)
\(\large n=1: 7^1+3^1-2=8\) кратне \(\large8\).
Припустимо, що ця умова виконується при n=k, тобто
$$\large 7^k+3^k-2$$
ділиться на 8.
Доведемо, що ця умова виконується і при \(n=k+1,\)
тобто
$$\large 7^{k+1}+3^{k+1}-2$$
ділиться на 8.
$$\large 7^{k+1}+3^{k+1}-2=$$
$$\large =7\cdot7^k+3\cdot3^k-2=$$
$$\large =7\cdot(7^k+\frac{3}{7}\cdot3^k-\frac{2}{7})=$$
$$\large =7\cdot(7^k+\cdot3^k-2-\frac{4}{7}\cdot3^k+1\frac{5}{7})=$$
$$\large =7\cdot(7^k-3^k-3)-4\cdot3^k+12=$$
$$\large =7\cdot(7^k-3^k-3)-4(3^k-3).$$
Оскільки \(\large 7^k-3^k-2\) ділиться на 8. і \(\large4(3^k-3)\) -ділиться на 8, бо \(\large 3^k=3\) - число парне, ділиться на 2 і 4 ділиться на 4. Отже, при \(n=k+1\) ця умова виконується. Тому при \(\large 7^n+3^n-2\) кратне \( \large 8\) будь-якому n.
