Доведіть за допомогою методу математичної індукції.
Рішення
$$\large 1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4\cdots+n(n+1)(n+1)=$$
$$\large =\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)$$
$$\large n=1:1\cdot2\cdot3=\frac{1}{4}\cdot1\cdot(1+1)\cdot(1+2)\cdot(1+3)$$
- правильно.
Отже, при \(n=1\) рівність виконується.
Припустимо, що задана рівність виконується при \(n=k\), тобто
$$\large1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4\cdots+k(k+1)(k+2)=$$
$$\large =\frac{1}{4}k(k+1)(k+2)(k+3)$$
Припустимо, що дана рівність виконується при \(n=k+1\).
$$\large 1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4+\cdots+k(k+1)(k+2)+$$
$$\large+(k+1)+(k+2)+(k+3)=$$
$$\large =\frac{1}{4}+(k+1)+(k+2)+(k+3)+(k+4)$$
Оскільки
$$\large 1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4+\cdots+k(k+1)(k+2)=$$
$$\large=\frac{1}{4}+(k+1)+(k+2)+(k+3),$$
то
$$\large 1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4+\cdots+k(k+1)(k+2)+$$
$$\large+(k+1)+(k+2)(k+3)=$$
$$\large=\frac{1}{4}+(k+1)+(k+2)+(k+3)+$$
$$\large+(k+1)+(k+2)\cdot(k+3)= $$
$$\large=(k+1)(k+2)(k+3)(\frac{1}{4}k+1)=$$
$$\large =\frac{1}{4}(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)$$
- правильно.
