Доведіть за допомогою методу математичної індукції.

Рішення

$$\large 4^n>7n-5$$

$$\large n=1; 4^1>7\cdot1-5$$

 - правильно.

Припустимо, що ця нерівність виконується при \(n=k\), тобто

$$\large 4^k>7k-5$$

або

$$\large 4^k-7k+5>0$$

Доведемо, що ця нерівність виконується при \(n=k+1\), тобто

$$\large 4^{k+1}>7(k+1)-5$$

Розглянемо різницю

$$\large4^{k+1}-7(k+1)+5=4^k\cdot4-7k-7+5=$$

$$\large=4^k\cdot4-7k-2=4(4^k-7k+5)+21k-22.$$

$$\large4^k-7k+5>0$$

і

$$\large21k-22>0$$

при

$$\large k>1.$$

Тоді

$$\large4^{k+1}-7(k+1)+5>0,$$

а

$$\large4^{k+1}>7(k+1)-5$$

Отже, дана нерівність правильна.

---

---