Доведіть за допомогою методу математичної індукції.

Рішення

\(\large 2^n>n^3\), якщо \(\large n\geq 10\).

$$\large n=1; 2^1>1^3$$

-правильно.

Припустимо, що ця нерівність виконується при \(n=k\), тобто \(\large 2^k>k^3\) або \(\large2^k-k^3>0\).

Доведемо, що ця нерівність виконується при \(n=k+1\), тобто

$$\large 2^{k+1}>(k+1)^3;$$

$$\large 2\cdot2^k-(k+1)^3=2\cdot2^k-k^3-3k^2-3k-1=$$

$$\large=2\cdot(2^k-k^3)+k^3-3k^2-3k-1=$$

$$\large=2\cdot(2^k-k^3)+(k^3-3k^2-3k-1)=$$

$$\large=2\cdot(2^k-k^3)+(k-1)^3.$$

Оскільки

$$\large 2^2-k^3>0$$

i

$$\large (k-1)^3\geq 0,$$

то

$$\large 2\cdot(2^k-k^3)+(k-1)^3>0.$$

Отже, дана нерівність виконується при \(n=k+1\). Отже, ця нерівність правильна.

---

---