Доведіть за допомогою методу математичної індукції.
Рішення
\(\large 5^n+2\cdot3^n-3\) кратне \(8\)
\(\large n=1: 5^1+2\cdot3^n-3\) кратне \( 8\), - ділиться на \(\large 8\).
Припустимо, що дана умова виконується при n=k, тобто
$$\large 5^k+2\cdot3^k-3$$
ділиться на 8.
Доведемо, що ця умова виконується і при \(n=k+1.\)
$$\large 5^{k+1}+2\cdot3{k+1}-3=$$
$$\large =5\cdot5^k+2\cdot3\cdot3^k-3=$$
$$\large =5\cdot(5^k+\frac{6}{5}\cdot3^k-\frac{3}{5})=$$
$$\large =5\cdot(5^k+2\cdot3^k-3-\frac{4}{5}\cdot3^k+2\frac{2}{5})=$$
$$\large =5\cdot(5^k+2\cdot3^k-3)-5\frac{4}{5}\cdot3^k+5\frac{12}{5})=$$
$$\large =5\cdot(5^k+2\cdot3^k-3)-4\cdot3^k+12=$$
\(\large =5\cdot(5^k+2\cdot3^k-3)-4(3^k-3)=\) ділиться на 8, оскільки як \(\large5^k+2\cdot3^k-3\) ділиться на 8 і \(\large4(3^k-3)\) -ділиться на \(\large 8\), оскільки цей вираз ділиться на \(\large 3\) і \(\large3^k-3\) -парне, ділиться на 2. Отже, цей вираз ділиться на 8.
