Якщо \(C(x;y;z)\) - середина відрізка з кінцями \(A(x_{1};y_{1};z_{1})\) і \(B(x_{2};y_{2};z_{2})\), то

\(x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2};y=\frac{y_{1}+y_{2}}{2};z=\frac{z_{1}+z_{2}}{2};\)

Якщо точка \(P(x;y;z)\) відрізка з кінцями \(A(x_{1};y_{1};z_{1})\) і \(B(x_{2};y_{2};z_{2})\) така, що \(AP:PB=m:n\), то
\(x=\frac{1}{m+n}(nx_{1}+mx_{2});y=\frac{1}{m+n}(ny_{1}+my_{2});z=\frac{1}{m+n}(nz_{1}+mz_{2})\)

Задача №50

Точки M і N - середини відрізків АВ і ВС трикутника АВС. Знайдіть координати вершин А і С, якщо В (2; 0; -4), М (3; -1; 2), N (1; -4; 0).

Розв'язання

М - середина АВ:
\[\frac{x_{a}+2}{2}=3; x_{a}=4\]
\[\frac{y_{a}+0}{2}=-1; y_{a}=-2\]
\[\frac{z_{a}-4}{2}=2; z_{a}=8\]
Отже, \(A(4 ; -2; 8)\).

N - середина BC:
\[\frac{x_{c}+2}{2}=1; x_{c}=0\]
\[\frac{y_{c}+0}{2}=-4; y_{c}=-8\]
\[\frac{z_{c}-4}{2}=0; z_{c}=4\]
Отже, \(C(0 ; -8; 4)\).

Відповідь: \(A(4 ; -2; 8)\), \(C(0 ; -8; 4)\).

Задача №58

Знайдіть висоту трикутника АВС, проведену до найбільшої сторони та його площу, якщо А(1; -1; 2), В(4; 2; -1), С(1; 5; 2).

Розв'язання

\[AB=\sqrt{(4-1)^{2}+(2+1)^{2}+(-1-2)^{2}}=\sqrt{27}=3\sqrt{3};\]
\[BC=\sqrt{(1-4)^{2}+(5-2)^{2}+(2+1)^{2}}=\sqrt{27}=3\sqrt{3};\]
\[AC=\sqrt{(1-1)^{2}+(5+1)^{2}+(2-2)^{2}}=6.\]
\(\triangle{ABC}\) - рівнобедрений, АС - основа і найбільша сторона. Тому висота, проведена до найбільшої сторони - це висота проведена з вершини В.
\[K(\frac{1+2}{2}; \frac{-1+5}{2};\frac{2+2}{2}); K(1; 2; 2)\]
\[BK=\sqrt{(1-4)^{2}+(2-2)^{2}+(2+1)^{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\]
\[Sa_{\triangle{}ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot{}BK=\frac{1}{2}\cdot{6}\cdot{3\sqrt{2}}=9\sqrt{2}.\]

Відповідь: .\(BK=3\sqrt{2}\); \(Sa_{\triangle{}ABC}=9\sqrt{2}.\)

Умови задач взято з підручника "Геометрія 11 клас" (Бевз, Владімірова).

---