Первісна
Функцію F(x) назbвають первісною для функції f(x) на даному проміжку,
якщо для будь-якого x із цього проміжку:
\[F^{'}\left(x\right)=f\left(x\right)\]
Основна властивість первісної
Якщо функція F(x) є первісною для функції f(x) на даному проміжку, а С - довільна стала,
то функція F(x)+С також є первісною для функції f(x),
при цьому будь-яку первісну для функції f(x) на даному проміжку можна записати у вигляді
\[F\left(x\right)+C \]
де С - довільна стала.
Приклад 1
Задана функція:
\[f\left(x\right)=x^{3}\]
Первісною функції є:
\[F\left(x\right)=\frac{x^{4}}{4}\]
Оскільки:
\[F^{'}\left(x\right)=\left(\frac{x^{4}}{4}\right)^{'}=\frac{1}{4}\cdot4x^{3}=x^{3}\]
Невизначений інтеграл
Сукупність усіх первісних для даної функції f(x) називають невизначенем інтегралом і позначають:
\[\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)\]
де F(x) - одна з первісних для функції f(x), а С - довільна стала.
Правила знаходження первісних
1)Якщо F - первісна для f, а G - первісна для g, то F+G первісна f+g.
Первісна для суми дорівнює сумі первісних для доданків.
2) Інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів від доданків:
\[\int \left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right) dx=\int f\left(x\right)dx +\int g\left(x\right)dx\]
3) Сталий множник можна винести виносити за знак інтеграла:
\[\int c\cdot f\left(x\right)=c\int f\left(x\right)\]
4) Якщо F - первісна для f, а k і b - сталі, то
\[\frac{1}{k}F\left(kx+b\right)\]
- первісна для функції f(kx+b).
\[\int f \left(kx+b\right)dx=\frac{1}{k}F\left(kx+b\right)+C\]
