Арифметичною прогресією називають послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, до якого додають одне й те саме число. Це стале для даної послідовности число \(d\) називається різницею арифметичної прогресії.

Арифметична прогресія буде зростаючою, якщо \(d>0\), і спадною, якщо \(d<0\).

Прогресію можна задати за допомогою першого члена \(a_1\) і різніці прогресії \(d\), а можна формулою n-го члена: \(a_n=a_1+d(n-1)\).

Теорема 1. Будь-яка арифметична прогресія може бути задана формулою виду \(a_n=kn+b\), де \(k\) і \(b\) - деякі числа, і еавпаки, прслідовність, яка задана формулою виду \(a_n=kn+b\), де \(k\) і \(b\) - деякі числа, є арифметичною прогресією.

Теорема 2. Послідовеість тоді й тільки тоді є арифметичною прогресією, якщо кожний її член, починаючи з другого, є середнім арифметичним двох сусідніх:

\(a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\).

Фомула суми перших n членів арифметичної прогресії:

\(S_n=\frac{a_1+a_n}{n}\cdot2\) або \(S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n\).

Задача.

Укажіть номер члена арифметичної прогресії \(-8;-7,5;-7;...\), який дорівнює -3.

Розв’язання.

Використайте формулу \(a_n=a_1+d(n-1)\).

\(-3=-8-0,5(n-1)\); \(n=11\).

Відповідь: \(11\).

Задача.

Знайдіть восьмий член арифметичної прогресії, якщо відомо, що сума третього, сьомого і чотирнадцятого членів цієї прогресії дорівнює 15.

Розв’язання.

\(a_3=a_1+2d\); \(a_7=a_1+6d\); \(a_{14}=a_1+13d\);

\(a_3+a_7+a_{14}=3a_1+21d=15\); \(a_1+7d=5=a_8\).

Відповідь: \(a_8=5\).

---