Геометричною прогресією називається послідовність відмінних від 0 чисел, кожний член якої, починаючи з другого, лрпрівнює попередньому члену, помноженому на одне й те саме число. Це стале для даної послідовності число \(q\) називають знаменником геометричної прогресії.

Формула n-го члена геометричної прогресії:

\(b_n=b_1\cdot q^{n-1}\).

Теорема. Послідовність тоді й тільки тоді є геометричною прогресією, якщо кожний її член, починаючи з другого, є середнім геометричним двох сусідніх:

\(b_n=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}\) \((b^2_n=b_{n-1}\cdot b_{n+1})\).

Формула суми \(n\) перших членів геометричної прогресії:

\(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\) або \(S_n=\frac{b_nq-b_1}{q-1}\), якщо \(q \neq 1\).

Якщо \(q=1\), то \(S_n=n\cdot b\).

Формула суми нескінченної геометричної прогресії:

\(|q|<1\); \(S=\frac{b_1}{1-q}\).

Задача.

Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії \(3;-\frac{3}{2};\frac{3}{4};-\frac{3}{8};...\).

Розв’язання.

\(S=\frac{b_1}{1-q}\), де \(b_1=3\), \(q=-\frac{1}{2}\).

\(S=\frac{3}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{3}{\frac{3}{2}}=2\).

Відповідь: \(2\).

Задача.

Дано три перших члени геометричної прогресії \(6;-12;24\). Знайти знаменник та сьомий її член.

Розв’язання.

Обчислюємо знаменник геометричної прогресії виходячи з його означення

\(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{24}{-12}=-2\).

Отримали знакозмінну геометричну прогресію, знаменник якої рівний -2. Сьомий член обчислюємо за формулою:

\(b_7=b_1\cdot q^6=b_{1+2}\cdot q^{6-2}=b_3\cdot q^4=24\cdot(-2)^4=384\).

Відповідь: \(384\).

---