ПЕРІОДИЧНІСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ

Функція \(y=f(x)\) називається періодичною з періодом \(T\neq 0\), якщо для будь-якого \(x\) з області визначення функції числа \(x+T\) і \(x-T\) також належать області визначення й виконується умова: \(f(x-T)=f(x)=f(x+T)\).

Якщо \(T\) - період функції \(y=f(x)\), то всі числа виду \(nT\), де \(n\in Z, n\neq 0\), також є періодами функції.

Щоб побудувати графік періодичної функції з періодом \(T\), достатньо побудувати графік на відрізку завдовжки \(T\), а потім продовжити його за допомогою паралельного перенесення на відстані \(nT\) вправо і вліво вздовж осі \(Ox\) \(n\in Z\).

Тригонометричні функції є періодичними. Найменшим додатнім періодом функцій \(y=\sin x\) і \(y=\cos x\) є \(2\pi\). Найменшим додатнім періодом функцій \(y=tg x\) і \(y=ctg x\) є число \(\pi\).

Отже:

$$\sin(2\pi n+\alpha)=\sin\alpha$$

$$\cos(2\pi n+\alpha)=\cos\alpha$$

$$tg(\pi n+\alpha)=tg\alpha$$

$$ctg(\pi n+\alpha)=ctg\alpha$$

Теорема. Якщо функція \(f(x)\) є періодичною і має період \(T\), то функція \(Af(kx+b)\), де \(A, k, b\) - деякі числа, а \(k\neq 0\), теж є періодичною, період її дорівнює

$$\frac{T}{|k|}.$$

Так, періодом функції

$$y=\sin(3x-\frac{\pi}{4})$$

є число

$$\frac{2\pi}{3},$$

періодом функції

$$y=2tg(-\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3})$$

є число \(2\pi\).

---