Похідною функції \(y=f(x)\) в точці \(x_0\) називається границя відношення приросту \(\Delta y\) функції до приросту \(\Delta x\) аргументу за умови, що границя існує, а приріст \(\Delta x\) аргументу прямує до нуля, тобто

$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

Функція \(y=f(x)\) в точці \(x_0\) називається диференційовною, якщо в цій точці вона має похідну \(f'(x)\).

Якщо функція \(y=f(x)\) є диференційовною в кожній точці деякого інтервалу \((a;b)\), то вона називається диференційовною на цьому інтервалі.

Теорема. Якщо функція \(y=f(x)\) в точці \(x_0\) є диференційовною, то вона в цій точці неперервна.

ПОХІДНІ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦІЙ

1.\(y=C\); \(y'=0\);

2.\(y=x^p\); \(y'=px^{p-1}, p \in Z\);

3.\(y=sinx\); \(y'=cosx\);

4.\(y=cosx\); \(y'=-sinx\);

5.\(y=tgx\); \(y'=\frac{1}{cos^2x}, x\neq\frac{\pi}6.{2}+\pi n,n \in Z\);

6.\(y=ctgx\); \(y'=\frac{1}{-sin^2x}, x\neq\pi n,n\in Z\);

7.\(y=e^x\); \(y'=e^x\);

8.\(y=a^x\); \(y'=a^xlna; a>0;a\neq 1\);

9.\(y=lnx\); \(y'=\frac{1}{x}, x>0\);

10.\(y=log_ax\); \(y'=\frac{1}{xlna},x>0;a>0;a\neq 1\).

---